- •1. Множества: основные понятия и определения. Способы задания множества.
- •3. Теорема о сущ-ии точной верхней и точной нижней грани.
- •4. Открытые и замкнутые множества. Компактность множества. Отображение.
- •5. Числовые последовательности и арифметические действия над ними.
- •7.Бесконечно-малые и –большие последовательности. Теория связи между б. М. И б. Б. Посл-ми.
- •9. Сходящиеся последовательности.
- •12. Предельный переход в неравенствах.
- •15. Число е
- •16. Теорема о вложенных промежутках.
- •17. Понятие функции. Способы задания функции.
- •18. Предел функции в точке. Правый, левый пределы функции( по Гейне и по Коши)
- •19. Предел ф-и на бесконечности( по Гейне и по Каши)
- •23. Бесконечно малые и бесконечно большие ф-и.
- •24. Сравнение бесконечно малых ф-й.
- •25. Три определения непрерывности функции в точке.
- •26. Точки разрыва функции. Их классификация.
- •27. Арифметические операции над непрерывными функциями.
- •28. Теорема об устойчивости знака непрерывной функции.
- •29. Первая теорема Больцано-Коши
- •35. Понятие обратной функции. Непрерывность обратной функции.
- •36. Понятие производной. Геометрический и экономический смысл производной.
- •37. Понятие дифференцируемости функции. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции в точке.
- •38 Теорема о связи дифференцируемости функции и существованием производной
- •39 Связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции в точке.
- •40. Понятие дифференциала функции. Геометрический смысл дифференциала.
- •41.Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Связь между ними.
- •42.Свойства бесконечно малых функций.
- •Теорема: Алгебраическая сумма и произведение конечного числа бесконечно малых ф-ций в точке а, как произведение бесконечно малой на ограниченную ф-цию, является бесконечно м.
- •44.Правила дифференцирования суммы, разности, произведения, частного двух функций.
- •45.. Производная степенной и логарифмической функций.
- •46.Теорема. Производная обратной ф-ции.
- •47. Производная показательной ф-ции
- •49. Понятие логарифмической производной. Производная показательно-степенной функции. Производная степенной функции с любым вещесвенным показателем.
- •50. Производные высших порядков
- •51. Дифференциалы высших порядков
- •52. Возрастание и убывание ф-ции в точке
- •53 Локальный экстремум ф-ции. Необходимое условие.
- •54. Теорема Ролля
- •60. Второе достаточное условие локального экстремума функции
- •62. Понятие выпуклости-вогнутости. Определение промежутков выпуклости-вогнутости графика функции.
- •65. Вертикальная и горизонтальная асимптоты графика функции
1. Множества: основные понятия и определения. Способы задания множества.
Множество – совокупность объектов любой природы, обладающих определенным свойством. Объекты, образующие множество называются элементами или точками множества.
Мн-во, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством. Если множества А и В состоят из одних и тех же эл-в,то говорят, что множества совпадают. Если каждый элемент множества А принадлежит множеству В, то множество А называется подмножеством множества В (А В). 10Любое множество является подмножеством самого себя(А А). 20Пустое мн-во явл подмножеством любого множества(Ø А). Способы задания множеств: 1) перечисление элементов(N={1,2,3…n}); 2) описание свойств элементов (X={xX | P(x)}). (N-натур, Z-целые, Q-рациональные, I-иррац, R-действит)
Операции над множествами (диаграмма Эллера). Свойства операций.
U-универсальное множество, которое содержит все остальные множества. Пусть АU, ВU. Пересечением 2-х множеств А и В называют множество С, которое состоит из эл-в, принадлежащих как множеству А , так и множеству В.
Объединением 2-х множеств А и В называют множество С, состоящее из эл-в, принадлежащих хотя бы одному из множеств А или В.
Разностью 2-х множеств А и В называют множество С, состоящее из эл-в, принадлежащих множеству А и не принадлежащих множеству В.
Свойства:
А∩В=В∩А- коммутативность
АUВ=ВUA-коммутативность
(АUВ)UC=AU(BUC)-ассоциативность
(A∩B)∩C=A∩(B∩C)ассоциативность
(AUB)∩C=(A∩C)U(B∩C)дистрибутивность
(AUC)∩(BUC)=(A∩B)UC-дистрибутивность
Ø = U; U’= Ø ;
AU Ā =U; A∩A’= Ø
AU Ø=A; A∩ Ø= Ø
AUA=A;A∩A=A
2.Ограниченность множества. Точная верхняя и нижняя грани множества. Свойство точных граней.
Множество Х ограничено сверху, если сущ-т число С такое, что для любого хэХ вып-я нер-во х≤c, при этом число С называют верхней грантью множества Х .
Множество Х ограничено снизу, если сущ-т число С такое, что для любого хэХ вып-я нер-во с≤х
Множ-во огранич-е сверху или снизу –ограниченное. Любое огр-е сверху имеет беск-е множ-во верхних граней. Наименьшая из верхних граней-точная верхняя supX. Наибольшая из нижних inf x. Св-во точной верхней ( нижней грани): Если множество Х ограниченно сверху, то наименьшую из верхних граней называют точной верхней гранью множества Х . sup X= sup x.
Если множ-во ограниченно снизу, то наибольшую среди его нижних граней называют точной нижней гранью множества Х. inf X=inf x .
Замечание! Точная верхняя(нижняя) грань может принадлежать множеству, а может и не принадлежать, в случае когда она принадлежит множеству, говорят, что множество достигает точной верхней(нижней) грани.
Множеств Х называют ограниченным, если существует положительное число d такое, что все эл-ты хХ удовлетворяют неравенству |x|≤d
Замечание! По определению считают, если множество Х неограниченно сверху, то sup x= +∞.
Если множество Х неограниченно снизу, то inf x= -∞.