Вопрос 35. Дисперсия вариационного ряда и ее св-ва. Исправленная выборочная дисперсия. Понятие доверительного интервала.
Дисперсией вариационного ряда называется число D=(xi-x)^2)/n , xi-с-на интервала, если ряд интервальный.
Доверительный
интервал J()
= (
,
)
Постановка задачи. Пусть СВ X N(, ), где и - неизвестные параметры. По выборке объема n требуется построить ДИ для параметра с уровнем доверия .
Для этого воспользуемся
тем, что СВ
2n-1,
где
- точечная оценка дисперсии D[X].
По таблицам 2
- распределения найдем квантили уровня
(1-)2
и (+1)2
распределения Пирсона с (n-1)
степенями свободы x
(1-)2
и x
(+1)2,
для которых справедливо:
P{x (1-)2 < W < x (+1)2} = P{W < x (+1)2} - P{W < x (1-)2} = ( + 1)2 - (1 - )2 = .
Проводя элементарные преобразования, получаем:
P{(n-1)S2/x (+1)2 < 2 < (n-1)S2/x (1-)2} = и P{[(n-1)S2/x (+1)2]1/2 < < [(n-1)S2/x (1-)2]1/2} = ,
где S2 - точечная оценка дисперсии D[X]. Тем самым получены ДИ для параметров 2 и :
J(2) = ( (n-1)s2/x (+1)2, (n-1)s2/x (1-)2 ) и J() = ( [(n-1)s2/x (+1)2]1/2, [(n-1)s2/x (1-)2]1/2 ),
где x (1-)2 и x (+1)2 - квантили уровня (1-)2 и (+1)2 распределения Пирсона с (n-1) степенями свободы;
s2 - выборочное значение дисперсии D[X].
Пример.
Пусть измеряемая величина X
N(,
)
- давление газа. По четырем испытаниям
установлены: выборочное среднее
= 120 МПа и выборочное значение дисперсии
s2
= 4 (МПа)2.
Требуется определить ДИ для X
с уровнем
значимости
= 0,1.
Решение. Сначала определим квантили уровня 0,05 и 0,95 распределения Пирсона с 3 степенями свободы: x0,05 = 23; 0,95 = 0,35 и x0,95 = 23; 0,05 = 7,8. Следовательно J0,9(X) = (1,24; 5,8) МПа.
Вопрос 36. Основные понятия стат проверки гипотез. Гипотезы h0 и h1, критерии проверки, ошибки первого и второго рода, критическая область, мощность критерия.
Стат. гипотеза – любое предположение о параметрах и св-вах ген распределения. Подлежащая проверке гипотеза – основная/нулевая гипотеза H0. Гипотеза, противопоставленная Н0, называется конкурирующей/альтернативной Н1. Критерий проверки-правило, по кот решают отклонять или не отклонять проверяемую гипотезу. Он реализуется с помощью случ вел (статистики) Ô, определенной на выбранном пространстве. Всё множество критериев Ô разбивают на 2: 1) критическая область W0 2) допустимая область S. Критическая область-подмножество W0 возможных значений критерия, при кот гипотезу отклоняют. Виды: левосторонняя, правосторонняя, двусторонняя. W0={Ô:P(Ô€W0=α}. Если по результатам выборки оказывается, полученное значение критерия Ôнабл€W0, то гипотезу отклоняют.
37. Критерий согласия Пирсона о предполагаемом законе распределения случайной величины.
Критерий Пирсона — наиболее часто употребляемый критерий для проверки гипотезы о законе распределения. Во многих практических задачах точный закон распределения неизвестен, то есть является гипотезой, которая требует статистической проверки.
Обозначим через X исследуемую случайную величину. Пусть требуется проверить гипотезу о том, что эта случайная величина подчиняется закону распределения. Для проверки гипотезы произведём выборку, состоящую из n независимых наблюдений над случайной величиной X. По выборке можно построить эмпирическое распределение исследуемой случайной величины. Сравнение эмпирического распределения и теоретического (или, точнее было бы сказать, гипотетического — то есть соответствующего гипотезе) распределения производится с помощью специального правила — критерия согласия. Одним из таких критериев и является критерий Пирсона.
.
,
где k–число групп, на которые разбито
эмпирическое распределение,
fi–наблюдаемая частота признака в i-й группе,
fT–теоретическая частота.