Вопрос 27. Неравенство Чебышева. Следствия.

Если случ вел Х имеет М(х) и (x), то для любого

справедливо рав-во

P(|x-M(x)|<) 1-((x))/^2 (3)

Нер-во |x-M(x)|<xx^2<^2 y=(x-M(x))^2

y 0-новая случ. вел-на. M(y)=M(x-M(x))^2=(x), применяя к у нер-во(1) для = ^2, получаем

Р(У<^2) 1-((x))/^2. Но нер-во y<^2<=>|x-M(x)|<,то сразу получаем нер-во (3).

Поскольку соб-е |х-М(х)| противоположно соб-ю |x-M(x)|<, то P(|x-M(x)| ) ((x))/^2 (4)

Нер-ва (3) и (4) служат для решения задач о Р отклонения сл. вел-ны с несущественным з-ном распред-я и известными М(Х) и (x)

Первое неравенство Чебышева. Если СВ X  0 имеет конечное значение  = M[X], то для любого   0 справедливо:

P{X  }  / или P{X < } > 1 - /.

Для наглядности проведем доказательство для СВНТ X с ПР f(x), хотя это остается справедливым и для СВДТ. Так как

Тогда P{X  }  /, что и требовалось показать.

Второе (основное) неравенство Чебышева. Если СВ X имеет конечные значения  = M[X] и ² = D[X], то для любого   0 справедливо:

P{X -   }  ²/² или P{X -  < } > 1 - ²/².

Вопрос 28. Теорема Чебышева и её следствия.

Напомним, что если , ,…, попарно независимые случайные величины, имеющие М(х ) и D(х ), i=1,n, то для новой случайной величины = или = справедливо нер-во

М(х)=

Последовательность а1,а2,..,аn называется равномерно ограниченной, если |ai| c, где c-константа, не зависит от i.

Теорема: При неограниченном увеличении числа n попарно независым. случ. вел-е, имеющегося мат осн-я и равн-но ограниченной дисперсии, их ср арифметическая

стремится по вертикали к ср арифметическому их мат ожидания,т.е. к



Доказательство:

Следствие1: Если случ вел-ны , ,…, имеют равный математические ожилпния М(х )=а и равно ограничены дисперсии D(х ),то a за истинное значение измеряемой вел-ны берут ср арифметическую большого числа ее изм-ий.

Следствие2: Теорема Хинчина: Если с.в. х имеют одинаковое расп-е, т.е. М(х )=а и D(х )=r^2, то для всех i

Вопрос 29. Теорема Бернулли. Значение закона больших чисел.

Теорема: Если в-ть р наст-ия соб А в n-независимых испытаниях постоянна, то при неограниченном увеличении числа n относительная частота k/n появления события А в n испытаниях ст-ся по в-ти к вер-ти р, т.е.

Док-во: как и в биномиальном з-не распределения число к наст-я соб. А в n испытаниях может быть представлено как к= , ,…, , , где - индикатор наступления соб. А в i-ом испытании

Было д-но, М(х )=p, а D(х )=pq=c, тогда, подставляя в (6) и D(х ), получим (8)Неравенство Бернулли

Значение з-на больших чисел:

1 в физике-пос-во давления газа

2 в статистике-основа выбора метода

3 в страховании-основанно на устойчивых таблицах смертности

Вопрос 30. Понятие о центральной предельной теореме и ее следствиях.

Центральные предельные теоремы – класс теорем в теории вероятностей, утверждающих, что сумма достаточно большого количества слабо зависимых случайных величин, имеющих примерно одинаковые масштабы (ни одно из слагаемых не доминирует, не вносит в сумму определяющего вклада), имеет распределение, близкое к нормальному.

Так как многие случайные величины в приложениях формируются под влиянием нескольких слабо зависимых случайных факторов, их распределение считают нормальным. При этом должно соблюдаться условие, что ни один из факторов не является доминирующим. Центральные предельные теоремы в этих случаях обосновывают применение нормального распределения.