Вопрос 21. Нормальный закон распределения и его числ. Хар-ки.

Непрерывная с.в.Х наз-ся распределенной по нормальному з-ну с пар-ми a и r (где r>0), если ее плотность имеет вид (1)

Если а=0 и r=1, то нормальное распред-е наз-ся стандартным, или нормальным. Для него p(x)=(x)= (2)

При любом заданном а и любом заданном r, гр. ф-ции (1) аналогичен гр-ку стандартной кривой (2) и обладает след. св-вами:

1 график симметричен относ-но прямой х=а

2 при изм-ии а и при пост r норм кривая, не изм-няя своей формы смещается вдоль оси ОХ.

3 при пост-ой а, при увеличении r норм, кривая как бы расплющивается вдоль оси ОХ, а при уменьшении r-станов-ся шпилеобразной.

Вопрос 22. Вер-ть попадания нормально распределенной случ. Вел-ны в заданный интервал, вероятность заданного отклонения.

=

Вопрос 23. Правило трёх сигм.

В теории вероятностей квадратичное отклонение σx случайной величины x (от ее математического ожидания) определяется как квадратный корень из дисперсии Dx и называют также стандартным отклонением величины x. Для любой случайной величины x с математическим ожиданием mx и квадратичным отклонением σx вероятность отклонения x от mx, больших по абсолютной величине k·σx, k > 0, не превосходит 1/k2 (неравенство Чебышева). В случае нормального распределения указанная вероятность при k = 3 равна 0.0027. В практических задачах, приводящих к нормальному распределению, чаще всего пренебрегают возможностью отклонения от среднего, большего 3·σx.

Вопрос 24. Функция Лапласа и её связь с ф-ией распр. Норм. Случ. Вел-ы.

Функцией Лапласа называется

Свойства

1 Ф(-х)=-Ф(х) – нечетная

2 limx-> + Ф(х)=1[Ф(0)=0,Ф(1)=0,6827,Ф(2)=0,9545]

Иногда ф-ю наз. интегралом вероятностей. Можно д-ть, что если х принадлежит r (a;r), то

Вопрос 25. Моменты случ вел-н. Асимметрия и эксцесс.

Нач момента случ величины х к-того порядка называют число , равное мат. отношению к-й степени случ вел

Если х-д.с.в., то . Можно док-ть, что знание всех начальных моментов позволяет восстановить ф-цию распределения F(x) с.в. Х как наиболее обобщающей хар-ки.

Центр.момент к-того порядка Мк наз. математическим ожиданием к-ой степени отклонения случ.вел. от своего мат. ожидания.

Асимметрия

Для норм. распред-я и для всех др. симметрич-х относит-но (М(х)) расп-й Аs=0

As>0, если «длинная часть» кривой распределения нах-ся правее мат. ожид-я. В противном случае As<0. Для оценки крутости теоретич. Расп-я по срав-ю с нормальн. кр-ой с теми же М(х) и P(x) примен-ся эксцесс, кот. Опр-ся так , для норм. зн-я =0

Если >0, то крив-я теоретич распред-я будет более высокой и острой, чем норм расп-е с теми же параметрами. Если <0, то теоретич крив-я будет более низкой и плоской

Эксцессом (или коэффициентом эксцесса) случайной величины называется число

Вопрос 26. Нерав-во Маркова.

Теорема: Если 0 и сущ-т М(х), то для любого >0 справедливо нер-во

Доказательство:

Т.к. события иx< противоположны и сумма их вер-тей равна 1, то из нер-ва(2) следует(1).Нер-ва (1) и (2) служат для решения задач и т.д. Замечание:1) нер-во(1) применяют если з-н распред-я не известен, а известно лишь то, что 0 и М(х). 2) из (1) следует что F() . С ростом  оценка ф-ции и расп-я станов-ся достаточно хорошей.