Вопрос 15. Закон Пуассона и его числовые характеристики.

Говорят, что случайная величина Х распределена по закону Пуассона, если она принимает целые значения 0, 1, 2… С ВЕРОЯТНОСТЯМИ p_k=P(X=k)=(e^-λ λ^k)/k!, где к=0, 1, 2…

Где λ > 0 – параметр распределения, при этом ∑p_k= e^-λ∑λ^k/k!,= e^-λe^λ=1

Математическое ожидание и дисперсия пуассоновской случайной величины = параметру распределения МХ=λ; DX=λ

Вопрос 16. Равномерное дискретное распределение и его хар-ки.

Дискретная случайная величина Х имеет гипергеометрическое распределение если она принимает значение m с вероятностями

p_m=P(X=m)=(C^m_MC_N-M^n-m)/C_Nⁿ

где m = 0 1 2… к (к= min(n,M); M≤N; n≤N. Вероятность p_m является вероятностью выбора m объектов, обладающих заданным свойством, из множества n объектов случайно извлеченных из совокупности N объектов среди которых M объектов обладают заданным свойствам.

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины имеющих гипергеометрическое распределение с параметрам и n,M,N:

MX=n(M/X) DX=n(M/N-1)(1-M/N)(1-n/N)

Вопрос 17. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины и ее свойства.

Случайной величиной Х называется непрерывной если она принимает более чем четное число значений. Случайная величина Х называется абсолютно непрерывной если ее функция может быть представлена в виде F_X(x)=интегралу f_X(z)dz

При этом функция f_X(x) называется плотностью распределения вероятности случайной величины Х. График плотности распределения случайной величины Х называется кривой распределения вероятностей случайной величины Х.

Плотность распределения обладает следующими св-ми:

Для всех Х принадлежащих R f(x)≥0

Интеграл f(z)dz=1

Для всех точек Х принадлежащему R в которых существует производная F’(x):f(x)=F’(x)

Вопрос 18. Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины. Док-во рав-ва D(x)=M(x^2)-M(x)^2

Математическое ожидание МХ непрерывной случайной величины, имеющей плотность, определяется формулой МХ=интегралу xp(x)dx, а дисперсия формулой DX=M(X-MX)²= интегралу (x-MX)²p(x)dx

Для вычисления дисперсии так же верна формула DX=MX²-(MX)², откуда для непрерывной случайной величины получаем DX= интеграл x²p(x)dx-(MX)²

Величина σХ= называется средним квадратичным отклонением случайной величины.

Все свойства математического ожидания и дисперсии для дискретных случайных величин переносятся и на случай непрерывных случайных величин.

Вопрос 19. Равномерный закон распределения. И его числ. Хар-ки.

СВНТ Х называется распределенной равномерно на отрезке [a, b] (при этом для краткости говорят: СВ Х подчиняется закону R(a, b), т.е. Х  R(a, b)), если плотность распределения вероятностей постоянна на данном отрезке. Тогда плотность распределения (ПР) f(x) и функция распределения (ФР) F(x) будут иметь следующий вид:

Вопрос 20. Показательный закон распределения и его числ. Хар-ки.

Непрерыв.случ.величина X имеет показательное распределение с параметром λ, если её плотность вер-ти имеет вид:

где λ>0. Ф-ия распр. случ. величины, распр. по показат-му закону, равна

Графики ф-ии распр-я и плотности вер-ти показат. распр-я

Мат. Ожидание и дисперсия показательно распр. случ. величины X: