Вопрос 3.Элементы комбинаторики: размещение, перестановки и сочетания. Св-ва сочетаний.

Комбинаторика- раздел матем, изучающий способы упорядочения и число подмножеств данного конкретного множества

2 основных правила:

1) правило суммы. Если объект А можно выбрать m способами, А другой объект В можно выбрать n способами то выбрать А+В (m+n) способами

2) правило произведения. Если объект А можно выбрать m способами после каждого такого выбора объект В можно выбрать n способами, то пару АВ можно выбрать mn способами

а) Размещения:

Пусть имеется n-элементное множество размещениями по к элементам, наз всевозможными упорядочениями R-элементные подмножества данного множества.

Число размещений из n-элементов по к-элементу

А^k_n=n(n-1)(n-2)x…x(n-k+1)=n!/(n-k)!

Размещение используется в тех задачах где важен порядок следования элемента

в) ПЕРЕСТАНОВКИ

Перестановками данного n-элементного множества наз-ся всевозможные упорядоченные n-элементные подмножества данного множества

Число всех перестановок

P_n=Aⁿn=n!

c) СОЧЕТАНИЯ

Сочетаниями из n-элементов по к элементам называются всевозможные неупорядоченные к-элементы подмножества из данного n-элементов множества. Сочетания различаются лишь составом элементов. Порядок следования элементов не важен

Чмсло сочетаний из n-элементов по к-элементу обозначается:

C^k_n=An^k/Pk=n!/k!(n-k)!

Св-ва сочетаний:

1. Cn⁰=Cnⁿ=0 ( 0!=1 по соглашению)

2. Cn^k=Cn^n-k

3. Cn¹=Cn^n-1=n

Вопрос 4.Теорема сложения вероятностей несовместных событий и ее следствия.

Напомним, что события А и В называются несовместимыми, если появление события А исключает появления события В. Др словами эти события не имеют общих исходов.

Теорема Р( А+В)=Р(А)+Р(В)

Док-во: пусть событие А благоприятствует м1 исходов из n исходов. Т.е. А≈m1 исх

B≈m2 исх

Р(А)=m1/n; P(B)=m2/n

Т.к А и В несовместны то А+В соответствует m1+m2 исходам, тогда Р(А+В)=m1/n+m2/n=P(A)+P(B)

Следствие:

1. По индукции теорема справедлива для любого числа событий:

Р(А1+А2+…+Аn)=Р(А1)+…+Р(Аn)

2. Сумма вероятностей событий образующих полную группу равна 1

Д-во

По определению полной группы А1+А2+…+Аn=Ω

Р(Ω)=1

Р(А1+А2+…+Аn)= Р(А1)+…+Р(Аn)

3. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1

Р(А)+Р(А^-)=1

р q

p+q=1

q=1-p

Вопрос 5.Зависимые и независимые события. Условная вероятность. Теоремы умножения вероятностей.

ОПР: Вероятность событий в., вычисленная при условии, что событие А произошло называется УСЛОВНОЙ ВЕРОЯТНОСТЬЮ события В и определяется равенством

P(B/A)=P(BA)/P(A), где P(A)≠0

Из определения следует P(AB)= P(A)xP(B/A). Равенство называется теоремой умножения.

Равенство позволяет решать задачи причем оно справедливо не только для 2-х, а и для n событий. В этом случае P(A1A2…An)=P(A1)P(A2/A1)P(A3/A1A2)…P(An/A1A2…An-1)

ОПР Событие В называется независимым от события А, если условная вероятность P(B/A)=P(B)

Можно показать, что если независимые события В и А независимы (В не зависит от А), то А не зависит от В. А не зависит от В и В^-, В не зависит от А и А^-

Для независимых событий теорема умножения примет вид: P(AB)=P(A)P(B)

ОПР: Несколько событий называется независимыми в сов-ти, если независимы попарно любые 2 из них и независимы каждые события и всевозможные произведения остальных

Теорема: Если событие А1 А2 …Аn независимы в сов-ти то P(A1A2…An=P(A1)P(A2)…P(An)