21. Наиболее просто устроены матрицы диагонального вида . Возникает вопрос, нельзя ли найти базис, в котором матрица линейного оператора имела бы диагональный вид. Такой базис существует.

Пусть дано линейное пространство R_n и действующий в нем линейный оператор A; в этом случае оператор A переводит R_n в себя, то есть A:R_n → R_n.

Определение. Ненулевой вектор   называется собственным вектором оператора A, если оператор A переводит   в коллинеарный ему вектор, то есть  . Число λ называется собственным значением или собственным числом оператора A, соответствующим собственному вектору  .

Отметим некоторые свойства собственных чисел и собственных векторов.

1. Любая линейная комбинация собственных векторов   оператора A, отвечающих одному и тому же собственному числу λ, является собственным вектором с тем же собственным числом.

2. Собственные векторы   оператора A с попарно различными собственными числами λ₁, λ₂, …, λ_mлинейно независимы.

3. Если собственные числа λ₁=λ₂= λ_m= λ, то собственному числу λ соответствует не более m линейно независимых собственных векторов.

Итак, если имеется   линейно независимых собственных векторов  , соответствующих различным собственным числам λ₁, λ₂, …, λ_n, то они линейно независимы, следовательно, их можно принять за базис пространства R_n. Найдем вид матрицы линейного оператора A в базисе из его собственных векторов, для чего подействуем оператором A на базисные векторы:   тогда  .

Таким образом, матрица линейного оператора A в базисе из его собственных векторов имеет диагональный вид, причем по диагонали стоят собственные числа оператора A.

Характеристическим многочленом оператора   называется многочлен  .Характеристический многочлен линейного оператора   не зависит от выбора базиса, в котором представлена его матрица. Уравнение   называется характеристическим уравнением оператора  .

22. Найдем вид матрицы линейного оператора A в базисе из его собственных векторов, для чего подействуем оператором A на базисные векторы:   тогда  .

Таким образом, матрица линейного оператора A в базисе из его собственных векторов имеет диагональный вид, причем по диагонали стоят собственные числа оператора A.

23. Квадратичная форма — функция на векторном пространстве, задаваемая однородным многочленом второй степени от координат вектора. Матрица квадратичной формы в произвольном базисе совпадает с матрицей полярной ей билинейной формы в том же базисе..

Матрицу   называют матрицей квадратичной формы в данном базисе. В случае, если характеристика поля   не равна 2, можно считать, что матрица квадратичной формы симметрична, то есть  .

Если матрица квадратичной формы имеет полный ранг, то квадратичную форму называют невырожденной, иначе — вырожденной

24. Квадратичная форма называется канонической, если все т. Е.

     Всякую квадратичную форму можно привести к каноническому виду с помощью линейных преобразований

Приведение квадратичных форм к каноническому виду

            Рассмотрим некоторое линейное преобразование А с матрицей .

Это симметрическое преобразование можно записать в виде:

y₁ = a₁₁x₁ + a₁₂x₂

y₂ = a₁₂x₁ + a₂₂x₂

где у₁ и у₂ – координаты вектора  в базисе .

            Очевидно, что квадратичная форма может быть записана в виде

Ф(х₁, х₂) = х₁у₁ + х₂у₂.

            Как видно, геометрический смысл числового значения квадратичной формы Ф в точке с координатами х₁ и х₂ – скалярное произведение .

            Если взять другой ортонормированный базис на плоскости, то в нем квадратичная форма Ф будет выглядеть иначе, хотя ее числовое значение в каждой геометрической точке и не изменится. Если найти такой базис, в котором квадратичная форма не будет содержать координат в первой степени, а только координаты в квадрате, то квадратичную форму можно будет привести к каноническому виду.

            Если в качестве базиса взять совокупность собственных векторов линейного преобразования, то в этом базисе матрица линейного преобразования имеет вид:

            При переходе к новому базису от переменных х₁ и х₂ мы переходим к переменным  и . Тогда:

            Тогда .

Выражение  называется каноническим видом квадратичной формы. Аналогично можно привести к каноническому виду квадратичную форму с большим числом переменных.

Теория квадратичных форм используется для приведения к каноническому виду уравнений кривых и поверхностей второго порядка.

Пример. Привести к каноническому виду квадратичную форму

Ф(х₁, х₂) = 27.

Коэффициенты: а₁₁ = 27,   а₁₂ = 5,   а₂₂ = 3.

Составим характеристическое уравнение: ;

(27 - )(3 - ) – 25 = 0

² - 30 + 56 = 0

₁ = 2;   ₂ = 28;

 Закон инерции квадратичных форм выражает

Теорема 11.4. Число положительных и число отрицательных квадратов в нормальном виде, к которому приводится данная действительная квадратичная форма невырожденным действительным линейным преобразованием, не зависит от выбора преобразования.

Число положительных квадратов в нормальной форме, к которой приводится данная действительная квадратичная форма, называют положительным индексом инерции этой формы, число отрицательных квадратов - отрицательным индексом инерции, разность между положительным и отрицательным индексами инерции - сигнатурой формы/ Если известен ранг формы, то задание любого из трех указанных выше чисел определяет два других.