14. Скалярным произведением двух векторов называется действительное число, равное произведению длин умножаемых векторов на косинус угла между ними.

Скалярное произведение векторов   и   будем обозначать как  . Тогда формула для вычисления скалярного произведения имеет вид  , где   и  - длины векторов   и   соответственно, а   - угол между векторами   и  .

Из определения скалярного произведения видно, что если хотя бы один из умножаемых векторов нулевой, то  .

Вектор можно скалярно умножить на себя. Скалярное произведение вектора на себя равно квадрату его длины, так как по определению  .

Угол между векторами — угол между направлениями этих векторов (наименьший угол).

По определению, угол между двумя векторами находится в промежутке [0°; 180°]. Угол между векторами   обозначается так:  . Если векторы перпендикулярны, то угол между ними равен 90º. Если векторы сонаправлены, в частности один из них или оба нулевые, то угол между ними равен 0^о. Если противоположно направленные векторы, то угол между ними равен 180º. Угол между двумя ненулевыми векторами находится с помощью вычисления скалярного произведения. По определению скалярное произведение равно произведению длин векторов на косинус угла между ними (скалярное произведение для двух векторов с координатами (x₁; y₁) и (x₂; y₂) вычисляется по формуле: x₁x₂ + y₁y₂).

15. N-мерным вектором называется последовательность   чисел. Эти числа называются координатами вектора. Число координат вектора n называется размерностью вектора.

Линейной комбинацией векторов   называют вектор

     

где   - коэффициенты линейной комбинации. Если   комбинация называется тривиальной, если   - нетривиальной.

Система   линейно зависима     что 

     Система   линейно независима 

16. Векторное (линейное) пространство — это математическая структура, которая формируется набором элементов, называемых векторами, для которых определены операции сложения друг с другом и умножения на число — скаляр.

Размерностью векторного пространства называется число, равное максимальному количеству линейно независимых векторов в этом пространстве.

Базис векторного пространства – это упорядоченная совокупность линейно независимых векторов этого пространства, число которых равно размерности пространства.

17. Скалярным квадратом n-мерного вектора называется скалярное произведение вектора на себя:

Евкли́дово простра́нство (также Эвкли́дово простра́нство) — в изначальном смысле, пространство, свойства которого описываются аксиомами евклидовой геометрии. В этом случае предполагается, что пространство имеет размерность 3.

В современном понимании, в более общем смысле, может обозначать один из сходных и тесно связанных объектов, определённых ниже. Обычно  -мерное евклидово пространство обозначается  , хотя часто используется не вполне приемлемое обозначение  .

Норма в векторном пространстве   над полем вещественных или комплексных чисел — это функционал  , обладающий следующими свойствами:

1. 

2.  (неравенство треугольника);

3. 

Эти условия являются аксиомами нормы.

18. Условия ортогональности векторов. Два вектора a и b

 ортогональны (перпендикулярны), если их скалярное произведение равно нулю

a· b= 0

Так в случае плоской задачи вектора a= {a_x;a_y}и b= {b_x; b_y} ортогональны, если a· b = a_x · b_x + a_y · b_y = 0

Базис e₁, e₂,  … , e_n в n –мерном евклидовом пространстве E_n называется ортогональным, если (e_i, e_j) = 0    i ≠ j , т.е. все векторы попарно ортогональны.

Ортогональный базис из единичных векторов называется ортонормированным.

19. Оператором называется правило, по которому каждому элементу x некоторого непустого множества X ставится в соответствие единственный элемент y некоторого непустого множества Y. Говорят, что оператор действует из X в Y.

Действие оператора обозначают y = A(x), y — образ x, x — прообраз y.

Если каждый элемнт y из Y имеет единственный прообраз x из X, y= A(x), оператор называют взаимно однозначным отображением X в Y или преобразованием X, X — область определения оператора.

Пусть X и Y два линейные пространства. Оператор A, действующий из X в Y, называется линейным оператором, если для любых двух элементов u и v из X и любого числа α справедливо:

A(u + v) = A(u ) + A(v) ,  A(α·u) = α· A(u).

Если элементу x соответствует y, то y называется образом элемента x, а x - прообразом элемента y. Пишут:   или y = f(x). Множество Aвсех элементов  , имеющих один и тот же образ  , называется полным прообразом элемента y.

20. Матрицей линейного оператора в базисах e, f называется матрица A, столбцами которой являются координаты образов базисных векторов базиса e в базисе f , A = {a_ij}= {A(e_j )_i}:

Координаты образа y = A(x) и прообраза x связаны соотношеннием:

y = A· x,