73.Волновая функция и основные, присущие ей закономерности. Уравнения Шредингера.
Необходимость
вероятностного подхода к описанию
микрочастиц является важнейшей
отличительной особенностью квантовой
теории. Для этого предложили, что по
волновому закону будет меняться некая
величина – волновая функция:
- основной носитель информации о
корпускулярных и волновых свойствах
микрочастицы. Вероятность нахождения
частицы в объёме dV:
.
Условие нормировки вероятностей:
.
Уравнение Шредингера не выводится, а
постулируется. Его правильность
подтверждена согласием с результатами
опытов, что придаёт ему характер закона
природы.
,
где m
– масса, i
– мнимая единица, Δ – оператор Лапласа,
- потенциальная энергия частицы в
силовом поле, в котором она движется.
Уравнение Шредингера справедливо для
любой частицы, движущейся со скоростью
V<<c.
74.Свободная частица в квантовой механике, точное решение, параметры бегущих волн де Бройля.
При движении свободной частицы ее полная энергия совпадает с кинетической (U(x) = 0). Для свободной частицы, движущейся вдоль оси х, уравнение Шредингера для стационарных состояний имеет вид:
,
W
– полная энергия, где
.
Решение:
;
.
,
т.к.
, то
=>
75. Частица в одномерной потенциальной яме.
(начало , до общего решения из вопроса 64)
Волновые
функции для стационарных состояний
частицы в одномерном, бесконечно
глубоком, прямоугольном потенциальном
ящике:
,
l
– ширина ящика, n
– квантовое число. В областях x
<= 0 и x
>= l
Ψ(x)
= 0;
Значение
энергии этой частицы в стационарном
состоянии:
76.Получить решения уравнения Шредингера для частицы в одномерной потенциальной яме и выражение для энергии частицы. Сделать анализ полученных соотношений.
*рисунок*
В пределах ямы ( 0 =< x
=< l
) уравнение Шредингера сведется к
уравнению:
Общее решение этого диф. уравнения :
При
х = 0 и Ψ(х) = 0 => В = 0
При х = l и Ψ(х) = 0 => AsinKl = 0 => Kl = ±πn, n = 0,1,2…
=>
.
=>
W
(энергия частицы) в потенциальной яме
не может быть произвольной, а принимает
лишь определенные дискретные значения,
т.е. квантуется.
77.Получить выражение для энергии частицы в одномерной потенциальной ямы, описав её состояние как соответствующую стоячую волну.
L = n · (λ / 2) (n = 1, 2, 3, ...)
79.Туннельный эффект.
Рассмотрим такое явление, как прохождение частицы через потенциальный барьер:
1) ;
2)
;
3)
=>
Вывод: волновая функция не равна нулю
внутри барьера, а после его прохождения
будет опять иметь вид волн де Бройля:
=> частица имеет отличную от нуля вероятность прохождения сквозь потенциальный барьер конечной ширины. Это явление получило название туннельный эффект. Для его описания используется понятие коэффициента прозрачности D потенциального барьера;
.