17. Случайная величина, распределённая по биномиальному закону, её математическое ожидание и дисперсия. Закон распределения Пуассоана.

Биномиальным наз-ся распределение сл\в, в кот она принимает последовательность целых неотрицательных значений с вер-ми определяемыми по формуле Бернулли.

мат\о и дисперсия биномиально распределённой сл\величины.

Законом распределения Пуассона наз распр-е сл\в, в кот она принимает последовательность целых неотрицательных значений с вер-ми определ-ся по формуле Пуассона. Если имеет место распределение Пуассона заданного распр-я , то мат\о находится

Распределение Пуассона. Пусть производится n независимых испытаний, в кот появление соб А имеет в-ть р. Если число испытаний n достаточно велико, а в-ть появления соб А в каждом испытании мало, то для нахождения в-ти появления события А k раз находится след образом: Произведение np сохраняет постоянное значение: , это означает, что среднее число появления соб в различных сериях испытаний (при разном n) остается неизменным.

По формуле Бернулли получаем:

;

 Найдем предел этой вероятности при n  ∞.

Получаем формулу распределения Пуассона:

 

18. Функция и распределения случайной величины, её определение, свойства и график.

Функцией распределения сл\в Х наз-ся ф-я F(x), выражающая для каждого х вер-ть т\ч сл\в Х примет значение, меньшее х.

ФР также наз интегральной ф-ей распр-я. ФР любой дискретной сл\в есть разрывная ступенчатая ф-я, скачки кот происходят в точках, соотв-х возможным значениям сл\в и равны вер-м этих значений. Сумма всех скачков ф F(X) =1. Она полностью характеризует сл\в и явл-ся одной из форм закона распределения.

Для дискретной сл\в ф-я распр-я имеет вид:

Знак неравенства под знаком суммы показывает, что суммирование распр-ся на те возможные знач сл\в, кот меньше аргумента х. Ф-я распр-я дискретной сл\в Х разрывна и возрастает скачками при переходе через каждое значение хi.

Свойства функции распределения

1) ФР сл\в есть неотрицательная ф-я, заключенная м\у 0 и 1:

2) ФР сл\в есть неубывающая ф-я на всей числовой оси.  при

3) На минус бесконечности ФР = нулю, на плюс бесконечности ФР = единице.

;

4) Вер-ть попадания сл\в в интервал (включая ) равна приращению её ФР на этом интервале, т.е.

19. Непрерывная случайная величина (нсв). Вероятность отдельного взятого значения нсв. Математическое ожидание и дисперсия нсв. Функция распределения нсв.

Сл\в Х наз-ся непрерывной, если её Функция Распределения непрерывна в любой точке и дифференцируемая во всюду, кроме отдельных точек (точки излома).

Мат\ожиданием дискретной сл\в называется сумма произведений всех возможных значений сл\в на их вероятности.

Мат\о существует, если ряд, стоящий в правой части равенства, сходится абсолютно. С точки зрения вер-ти можно сказать, что м\о приближенно = среднему арифметическому наблюдаемых значений сл\в.

Пусть НСВ Х задана ФР F(x). Допустим, что все возможные значения сл\в принадлежат отрезку [a,b].

Мат\ож-м  НСВ Х, возможные значения которой принадлежат отрезку [a,b], наз-ся определенный интеграл . Если возможные значения сл\в рассм-ся на всей числовой оси, то мат\о нах по формуле: , при этом предпол-ся, что несобственный интеграл сходится.

Дисперсией НСВ наз мат\ож квадрата ее отклонения. . По аналогии с дисперсией, дискретной сл\в, для практического вычисления дисперсии используется формула: .

Функция распределения НСВ:

, в качестве способа задания НСВ используется функция распределения НСВ.

ФРНСВ наз вер-ть т\ч она примет значение меньшее заданного. -обознач ф-ии распр в-тей



Основные свойства ф-ии распределения НСВ:

С1.

С2.

С3.

С4. Вер-ть т\ч НСВ примет значение из интервала, равна приращению ф-ии на этом интервале

1)

2)