Определение нормальных напряжений при изгибе

При чистом плоском изгибе в поперечных сечениях балки возникают только нормальные напряжения. Они изменяются по линейному закону в зависимости от высоты сечения (формула Навье): ,

где J_x — момент инерции сечения относительно нейтральной оси,

y — расстояние от некоторого волокна до нейтрального слоя.

М аксимальные нормальные напряжения при изгибе возникают в точках, наиболее удаленных от нейтрального слоя:

Для симметричного, относительно нейтральной оси, сечения вводится обозначение: момент сопротивления сечения при изгибе W_x =J_x/y_max, тогда

Е сли сечение не имеет горизонтальной оси симметрии, то эпюра нормальных напряжений  не будет симметричной. Нейтральная ось сечения проходит через центр тяжести сечения.

Формулы для определения нормального напряжения для чистого изгиба приближенно годятся и когда Q0. Это случай поперечного изгиба.

Условие прочности по нормальным напряжениям

Определение касательных напряжений при поперечном изгибе

При поперечном изгибе наряду с изгибающим моментом в сечении балки возникает поперечная сила (Q). Наличие поперечной силы связано с возникновением в поперечном сечении касательных напряжений.

Касательные напряжения при изгибе не распределяются равномерно на высоте сечения. Формула для подсчета касательных напряжений при изгибе носит название формулы Журавского.

τ =

где Q_y (Q) – поперечная сила в рассматриваемом сечении.

S`_x – статистический момент относительно нейтральной оси той части сечения, которая лежит выше или ниже прямой проведенной через данную точку;

I_x – осевой момент инерции всего сечения относительно нейтральной оси.

b – ширина поперечного сечения на уровне точки, в которой определяется напряжение.

Q, I_x, b для сечения постоянной ширины не меняются.

S_x изменяется в зависимости от y₁, следовательно, τ в любой точке поперечного сечения зависит только от y₁. Касательные напряжения достигают максимального значения:

Для прямоугольного сечения: τ_max = в точках на нейтральной линии (при y = 0)

Для двутавра: τ_max = , где S_xП/С – статистический момент полусечения.

Для круглого сечения: τ_max = , где A – площадь.

Максимальное касательное напряжение для большинства симметричных сечений относительно нейтральной оси (X) имеет место в точках лежащих на нейтральной оси.

Условие прочности по касательным напряжениям: τ_max ≤ [τ]

Полная проверка прочности и определение перемещений балки

Полная проверка прочности балки при поперечном изгибе включает в себя три проверки:

1. проверка прочности по нормальным напряжениям в сечении, где действует максимальный по модулю изгибающий момент М_max. Опасные точки – наиболее удалённые от нейтральной оси Х сечения балки:

2. проверка прочности по касательным напряжениям в сечении, где действует максимальная по модулю поперечная сила Q_max. Опасные точки расположены на нейтральной оси Х сечения балки:

3. проверка прочности по главным напряжениям. За опасные принимаются сечения, где одновременно велики Q и М. Опасные точки в сечении расположены там, где одновременно велики нормальные и касательные напряжения. Условие прочности имеет вид:

- по IV теории :

- по V теории (Мора):

Для определения перемещений можно использовать метод начальных параметров:

EJy =EJy₀ + EJφ₀·x + Σ + Σ + Σ ,

где y₀ и φ₀ – начальные параметры (прогиб и угол поворота оси балки в начале координат), которые определяются из условия крепления балки.