6. Вычисление определенных интегралов

6. Вычисление определенных интегралов

6.1. Постановка задачи, общая характеристика методов Требуется вычислить интеграл вида

,

(6.1)

где  f(x) - подынтегральная функция, непрерывная на [a,b];

a,b - нижний и верхний пределы интегрирования. Геометрически вычисление определенного интеграла интерпретируется как вычисление площади, ограниченной осью OX и графиком f(x) на промежутке [a,b] изменения х (рис.6.1). К численному вычислению интеграла (чис­ленному интегрированию) обращаются в случаях, когда невозможно аналитически записать первообразную интеграла   через элементарные функции или если такая запись имеет очень сложный вид.

Рис.6.1, Геометрическая интерпретация определенного интеграла

Суть большинства методов численного интегрирования состоит в замене подынтегральной функции  f(x) аппроксимирующей функцией  , для которой можно легко записать первоообразную в элементарных функциях, т.е.

,

где S - приближенное значение интеграла (6.1);

R - погрешность численного вычисления интеграла J.

При численном интегрировании независимо от выбранного метода необходимо вычислять приближенное значение S интеграла (1) и оценивать погрешность R. В большинстве методов промежуток интегрирования [a,b] разбивается на некоторое число N интервалов, на каждом из которых подынтегральная функция  f(x) аппроксимируется и вычисляется частичный интеграл, а конечный результат S есть сумма всех частичных интегралов (рис.6.2).

Рис.6.2. Геометрическая сущность численного интегрирования

Рис.6.3. Зависимость погрешности от числа разбиений

Используемые на практике методы численного интегрирования можно сгруппировать в зависимости от способа аппроксимации подынтегральной функции.

1-я группа:  методы Ньютона-Котеса. Они основаны на полиномиальной аппроксимации. Методы этой группы отличаются друг от друга степенью используемого полинома, от которой зависит количество узлов, в которых необходимо вычислять значения подынтегральной функции  f(x). Алгоритмы этих методов просты и легко поддаются программной реализации.

2-я группа: сплайновые методы. Эти методы различаются типами выбранных сплайнов. Такие методы имеет смысл использовать в задачах, где алгоритмы сплайновой аппроксимации применяются на многих этапах обработки данных.

3-я группа: методы Гаусса-Кристоффеля. Это методы наивысшей алгебраической точ­ности. Они используют не равноотстоящие узлы, расположенные по алгоритму, обеспечивающему минимальную погрешность интегрирования. Алгоритмы этой группы методов требуют большей оперативной памяти ЭВМ, чем алгоритмы 1-ой группы.

4-я группа: методы Монте-Карло. В них используется вероятностный, случайный выбор узлов аппроксимации.

5-я группа: это специальные методы, специализированные под данный вид подынтегральной функции. Они характеризуются высокой точностью, но и большой сложностью алгоритмов и программной реализации.

При увеличении числа N, т.е. при уменьшении длины интервала разбиения, погрешность аппроксимации R будет уменьшаться, но при этом будет возрастать погрешность суммирования R_s частичных интегралов. Начиная с некоторого N_o, эта погрешность становится преобладающей, и тогда суммарная погрешность =R+R_s численного интегрирования будет возрастать (рис.6.3.). Поэтому не следует считать, что неограниченное увеличение N будет давать все более точный результат.