Геометрические характеристики плоских сечений

С татическим моментом сечения относительно оси, (лежащей в плоскости сечения), называется взятая по всей площади А сечения сумма произведений площадей элементарных площадок dA на их расстояние до этой оси. Статический момент обозначается «S» с нижним индексом, указывающим ось.

Если сечение состоит из простейших геометрических фигур (круга, квадрата, треугольника, прямоугольника), то при вычислении его статических моментов от интегрирования можно перейти к конечному суммированию:

где ∆A_i – площади простейших элементов, из которых составлено сечение;

х_i и y_i – координаты центров тяжести простейших элементов.

Данные выражения показывают, что статический момент всей фигуры равен сумме статических моментов каждой ее части.

Определение статического момента упрощается, если известны координаты центра тяжести сечения:

S_x = y_c · А S_y = x_c · A

где А – площадь всего сечения; x_c и y_c – координаты центра тяжести сечения.

Статистические моменты измеряются в м³. В расчётах чаще используют см³. (1 см³ = 10 ^-6 м³)

Площадь А всегда больше нуля, координаты центра тяжести сечения могут быть >0 или <0, в зависимости от расположения осей. следовательно, S_x может быть >0 или <0 в зависимости от того, где лежит большая часть площади, также он может быть =0.

Если ось проходит через центр тяжести сечения, она носит название центральной оси. Статистический момент сечения относительно центральной оси равен нулю, так как х_с или у_с = 0.

Если сечение имеет две оси симметрии, то центр тяжести лежит на их пересечении. Если сечение имеет одну ось симметрии, то центр тяжести лежит где-то на этой оси, поэтому статистический момент симметричного сечения относительно его оси симметрии всегда =0.

При вычислении статистического момента сложного сечения его разбивают на простые части и алгебраически суммируют статические моменты этих простых частей сечения:

S_x = S_1x + S_2x + S_3x + …..+ S_nx

где S_x – статистический момент всей фигуры относительно оси x.

S_1x , S_2x , S_3x , …., S_nx – статистические моменты отдельных простых частей фигуры относительно оси x.

Статические моменты соседних фигур можно складывать только относительно одной и той же оси. Для этого надо привести все моменты к единой оси и только потом суммировать. Относительно разных осей статические моменты складывать нельзя.

Координаты центра тяжести сложных сечений:

где А₁, А₂, А_n – площади простых частей, на которые разбито сложное сечение,

x₁ и y₁ – координаты центра тяжести первой простой фигуры, и т. д.

Если сечение имеет одну ось симметрии, то центр тяжести лежит где-то на этой оси, и для того чтобы определить его положение нужно найти только одну координату.

Моменты инерции плоских сечений.

При расчетах на прочность, жесткость и устойчивость используются осевые и полярные моменты инерции.

Осевым моментом инерции относительно некоторой оси называют взятую по всей площади сечения А сумму произведений площадей элементарных площадок dA на квадраты их расстояний до этой оси:

Полярным моментом инерции относительно некоторой точки (полюса О) называют взятую по всей площади сечения А сумму произведений площадей элементарных площадок dA на квадраты их расстояний до этой точки

Связь между осевыми и полярным моментами инерции:

Согласно рис. ² = x² + y²

Осевые и полярный моменты инерции всегда положительны и не могут быть = 0. Они измеряются в м⁴ или в см⁴. (1 см⁴ = 10 ^-8 м⁴)

Центробежным моментом инерции относительно некоторых двух взаимно перпендикулярных осей (xy) называют взятую по всей площади сечения А сумму произведений площадей элементарных площадок dA на их расстояния до этих осей.

Центробежный момент может быть положительным, отрицательным и равным нулю в зависимости от положения осей. Измеряется он также в м⁴ или см⁴.

Если какое-либо сечение (плоская фигура) имеет хотя бы одну ось симметрии, то центробежный момент инерции относительно оси симметрии Y и ей перпендикулярной оси X равен нулю. (трапеция)

Момент инерции сложной фигуры равен сумме моментов инерции её составных частей.