Закон Гука

Опытным путём установлено, что между нагрузкой и деформацией стержня до определённого предела существует прямо пропорциональная зависимость.

В пределах малых деформаций при простом растяжении или сжатии закон Гука записывается в следующем виде:

 = E∙  

– нормальные напряжения пропорциональны линейным деформациям.

Величина Е представляет собой коэффициент пропорциональ­ности, называемый модулем упругости материала первого рода (или модулем продольной упругости, или модулем Юнга).

Модуль Юнга зависит только от физико-механических свойств материала и не зависит от размеров тела (длины и площади поперечного сечения). Размерность модуля Юнга – Па. Чем больше Е, тем менее растяжимый материал.

Определение перемещений (абсолютной линейной деформации)

Если стержень изготовлен из однородного изотропного мате­риала с Е = const, имеет постоянное поперечное сечение S = const и нагружен по концам суммой сил равной N, то абсолютная линейная деформация:

E∙S — жесткость стержня при растяжении (сжатии).

Задача № 1 Вариант 9

Р₀ Схема 9

Z ^{Эп. N, кН Эп. σ, МПа}

ℓ₃  

s Р_{1 16,7 167}

_{23,3 -233}

Р₂/2 Р₂/2 ℓ₂  

_{-3,3 -16,5}

2S

ℓ₁

_{0 0}

Д ано: Решение

Р₁ = 40 кН

Р₂ = 20 кН Разобьём колонну на три участка.

Р₀ = 23,3 кН Внутренние силы, действующие в любом

S = 0,10 м² поперечном сечении на протяжении всего

ℓ₁ = 8 м участка одинаковы.

ℓ₂ = 6 м Номер участка соответствует индексу в

ℓ₃ = 5 м обозначении длины участка (см. схему).

Направим ось Z по направлению сил,

Эпюра N -? растягивающих колонну.

Эпюра  -?

Эпюра Δ -?

1. Определение продольной силы N на каждом участке

   Z Р₀

   Р₁

   Р₂/2 Р₂/2

   N₁

   Применяя метод сечений мысленно рассечём колонну на 1^ом участке. отбросив нижнюю часть колонны рассмотрим силы, действующие на верхнюю часть. Запишем уравнение рав-новесия для проекций этих сил на ось Z.

∑F_iz=0 -N₁-P₀+P₁-2Р₂/2=0

N₁=-P₀+P₁-Р₂

N₁=-23,3+40-20=-3,3 кН

Знак «-» свидетельствует о том, что в результате действия всех сил происходит сжатие 1^ого участка.

П

Z P₀

P₁

N₂

рименяя метод сечений рассечём колонну на 2^ом участке. Рассмотрим силы, действующие на верхнюю часть колонны. Запишем уравнение равновесия для проекций этих сил на ось Z.

∑F_iz=0 -N₂-P₀+P₁=0

N₂=-P₀+P₁

N₂=-23,3+40=16,7 кН

П

Z P₀

N₃

рименяя метод сечений рассечём колонну на 3^ом участке. Рассмотрим силы, действующие на верхнюю часть колонны. Запишем уравнение равновесия для проекций этих сил на ось Z.

∑F_iz=0 -N₃-P₀=0

N₃=-P₀=-23,3 кН

По полученным значениям N на каждом участке строится эпюра продольных сил.

2. Определение нормального напряжения  на каждом участке

Нормальное напряжения  на каждом участке определяется по формуле:

1 участок: (сжатие)

2 участок: (растяжение)

3 участок: (сжатие)

По полученным значениям  на каждом участке строится эпюра напряжений.

3. Определение перемещения Δ границ каждого участка

Ответ: N₁ =-3,3 кН =-16,5 кПа

N₁ =16,7 кН =167 кПа

N₁ =-23,3 кН =-233 кПа

Задача № 2 Вариант 12

Д ано: Схема 19

а

В

А

С

= 1,0 м

Н = 0,8 м

[ σ₁] =100 МПа

[σ₂] =120 МПа

Стержень 1

• д вутавр. II

Стержень 2

- два уголка I

70х70х5.

М атериал обоих

стержней - сталь

Е

D

= 2·10⁵ МПа

1,2а

а

Р -?, N₁ -?, К -?

№ двутавра -?

Решение

обозначим шарниры системы заглавными буквами (см. схему)