Интегральное ядро обратного оператора. Функция Грина.

Хотим решить задачу:

Если у оператора есть обратный, то .

Если среди собственных значений нет нулей, то:

- интегральное ядро обратного оператора – функция Грина.

Найдем какому уравнению подчиняется функция Грина:

какой должна быть F(x,x’), чтобы получить g(x):

Искать функцию Грина можно двумя путями: из определения, из уравнения через дельта – функцию.

Функциональное пространство периодических функций на прямой.

f(x+L)=f(x)

Построим базис в этом векторном пространстве:

Для построения базиса можно выбрать эрмитовский оператор, найти собственные векторы и отнормировать их.

Удовлетворим требованию периодичности:

Имеем дискретный набор

- нормировка

α – любая константа

мы доопределить никогда не сможем.

- фазовый множитель, который выбирается произвольно. Чаще всего α=0.

- базис

L=2π, , говорят что функция задана на кольце.

Построим единичный оператор из функций этого векторного пространства.

- интегральное ядро

Свойства:

- ядро тоже периодическое.

1)

2)

Хотим убедиться, что интеграл от любого из пиков равен 1.

Посчитаем интеграл вблизи пика:

Чтобы определить является ли - дельта – функцией

Учтем, что

Устремление N к ∞ говорит о увеличении высоты пика и сужении ширины пика.

- весь пик убирается в интервал интегрирования.

Функция - периодический набор дельта – функций

- периодическая дельта – функция.

Пространство непериодических функций на прямой.

Хоти м из пространства периодических функций получить пространство непериодических функций устремив период к ∞.

- расстояние между двумя собственными значениями.

- спектр оператора импульса становится непрерывным.

Если , то интеграл не определен.

Если , то

- все функции равны 0 и с ними нет смысла работать.

С – новая конечная константа нормировки.

Если , то

Чему равна С? Какие условия нормировки?

Пространство стало несепарабельное. Будем исходить из требования:

- по определению интегральное ядро единичного оператора.

при этом фазовый множитель = 1.

Для функций непрерывного спектра принимается нормировка на дельта – функцию:

Рассмотрим трехмерный случай: x, y, z.

Они коммутируют. C функции у них могут быть выбраны едиными и они образуют полную систему функций

Функция Грина трехмерного оператора Лапласа.

Если знаем оператор , то

Можем найти функцию Грина:

- собственные векторы и собственные значения

Интегрируем по всему импульсному пространству:

Для нашего интеграла - величина фиксированная. Мы можем так выбрать систему координат, что совпадет с Z.

Вернемся к электростатической задаче:

Получим закон Кулона:

Если есть N зарядов:

Разложение вектора по базису в несепарабельном векторном пространстве.

Возьмем одномерное пространство:

- это преобразование Фурье.

Теорема о среднем значении квадрата эрмитовского оператора.

Рассмотрим эрмитовский оператор .

Возведем его в квадрат . Он тоже эрмитовский.

Найдем его среднее значение:

взяли произвольный ортонормированный базис из векторов .

Среднее значение квадрата эрмитовского оператора всегда неотрицательно.

Уравнение Гельмгольца.

Хотим найти собственные вектора и собственные значения оператора Лапласа.

Если решать задачу в декартовых координатах:

- спектр оператора Лапласа

Он вырожденный или нет.

Мы имеем ∞ количество по модулю равных некоторому числу - ∞ вырожденный спектр.

Допустим, что у нас в задаче есть сферическая симметрия. Будем решать задачу на собственные значения и собственные функции в сферических координатах.