Собственный базис оператора.
- некоторый оператор.
- ортонормированный
базис.
Можно выбрать такой базис, что матрица оператора будет диагональной:
Такой базис называется собственным базисом оператора .
- вид оператора в собственном базисе.
Можем образовать функцию от оператора:
-
в собственном базисе оператора
.
- собственные
значения оператора.
Векторы, составляющие собственный базис оператора, называются собственными векторами оператора.
Чтобы найти собственные векторы и собственные значения:
Найдем:
можем отнормировать.
Полный набор всех собственных значений оператора называется его спектром.
Не для любого оператора существует обратный. Обратный оператор не существует, если в спектре оператора есть хотя бы одно нулевое значение.
Оператор «удлиняет» вектор (собственный вектор).
Для нахождения собственного базиса решаем задачу о собственных значениях.
Получаем набор решений:
- собственные значения оператора
- собственные векторы, которые составляют собственный базис.
- может равняться
,
но может и не ровняться
.
Собственные векторы и собственные значения эрмитовского оператора.
Теорема: Собственные значения эрмитовского оператора всегда действительны, а собственные векторы ортогональны.
Доказательство:
Пусть мы нашли собственные значения и собственные векторы.
Запишем равенство в сопряженном пространстве:
Тогда:
- действительное число.
- собственные векторы ортогональны.
Связь между эрмитовским и унитарным операторами.
- эрмитовский
оператор.
Пусть
мы нашли:
.
Все
- действительные числа.
Построим оператор:
Запишем матричные элементы:
- унитарный оператор.
Всякий
унитарный оператор
может быть представлен
,
где
- эрмитовский оператор.
- действительны
- собственное
значение любого унитарного оператора
равно по модулю 1.
Вырождение спектра оператора.
Будем решать задачу на собственные вектора и собственные значения.
- решение.
- полное решение
задачи
Возможна ситуация, когда одному собственному значению отвечает один собственный вектор, тогда спектр оператора называется простым или невырожденным.
Одному собственному значению соответствует g собственных векторов:
Говорят, что t является вырожденным.
Количество собственных векторов g отвечающих одному собственному значению t – кратность вырождения.
Если все собственные значения оператора вырожденные, то спектр оператора можно назвать вырожденным.
Если какие-то собственные значения вырождены, а какие-то нет, то спектр смешанный.
Кратности вырождения для каждого собственного значения разные.
g=1 – собственное значение невырожденные.
Продолжение
теоремы о
Если
,
то из равенства ортогональность векторов
не следует.
Есть некоторое вырожденное собственное значение:
Проделаем аналогичное доказательство:
Допустим,
что
- они не ортогональны,
но линейно независимы.
Линейно независимые вектора можно ортогонализовать:
1)
все векторы
ортогональны всем собственным векторам
оператора
,
отвечающим другим собственным значениям.
2)
- собственный вектор для оператора