17. Сформулируйте определение производящей функции моментов. Каким образом начальные моменты связаны с производной производящей функции? Ответ обосновать.

Функция от параметра t, равная математическому ожиданию функции е^tX, называется производящей функцией случайной величины X: m_x(t) = Me^tX

Производящая функция m_x(t) содержит в себе сведения о всех начальных моментах, т.е. по ней можно определить функцию распределения, содержащую все сведения о случайной величине.

Производящая функция такой случайной величины имеет вид: M_x(t) = Me^tX = Me^tm = Σ_{(верх. N, нижн. M=0)} С_{(верх. m, нижн. n)}(pe^t)^mq^n-m = (pe^t + q)ⁿ (Последнее неравенство получено на основании формулы бинома Ньютона).

Найдем производные функции m_x(t): m`_X(t) = np (pe^t + q)^{n -1}e^t ; m``_X(t) = np {(pe^t + q)^{n -2}e^2t + (pe^t + q)^{n -1}e^t}

Найдем начальные моменты: v₁ = m`_X(0) = np (p + q)^{n -1} = np ибо p + q = 1 ; v₂ = m``_X(0) = np [(n – 1) p (p + q)^{n -2} + (p + q)^{n -1}] = np (np – p +1) = np (np + q). Следовательно M(X) = npq.

18. Что понимается под произведением дискретных случайных величин X и Y? Как вычисляется M(XY), если известен закон совместного распределения ДСВ X и Y? Как в этом случае можно найти вероятность попадания случайной точки (X,Y) в заданное множество S?

Произведением случайных величин X и Y называется случайная величина, которая принимает все возможные значения вида x_i + y _j (x _i * y _j) где i = 1,2,…, n; j = 1,2,…,m с вероятностями p_ij того, что случайная величина Х примет значение x _i , а Y – значение y _j

P_ij = p[(X= x_i)(Y= y _j)]

Если известен закон совместного распределения, то математическое ожидание произведения дискретных случайных величин вычисляется следующим образом:

M(XY) = Σ_{(верх. n, нижн. i=1)}*Σ_{(верх. m, нижн. j=1)}* x _i* y _j* P_ij

Где двойная сумма означает суммирование по всем nm клеткам таблицы (n=число строк, m = число столбцов).

Используя функцию распределения можно найти вероятность попадания случайной точки в прямоугольник

19. Что понимается под произведением произвольных случайных величин X и Y? Как вычисляется математическое ожидание M(XY), если f(x,y) плотность совместного распределения X и Y? Как в этом случае находится вероятность попадания случайной точки (X,Y) в заданную область G?

Произведением случайных величин X и Y называется случайная величина, которая принимает все возможные значения вида x_i + y _j (x _i * y _j) где i = 1,2,…, n; j = 1,2,…,m с вероятностями p_ij того, что случайная величина Х примет значение x _i , а Y – значение y _j

P_ij = p[(X= x_i)(Y= y _j)]

Для математического ожидания функции ф(х, у) от компонент случайного вектора (X, Y) справедлива формула

По св-ву плотности распределения следует:

Равномерное распределение в прямоугольнике => F(x,y)=

1 =

F(x,y)=

F(x,y)= т.к. иначе F(x,y), x>m+b, y>n+a, F(x,y)=1, x<m, y<n F(x,y=0]=

= == (x(y-n)-m(y-n))= (xy-xn-ym+mn).

20. Перечислите основные свойства функции плотности распределения двумерного случайного вектора. Каким образом связаны функции плотности и распределения? Укажите функцию плотности для равномерного распределения в области R.

Свойства f(x;y):

1. f(x;y) – неотрицательная

2. dxdy=1

3. В точке непрерывности

Если F(х;у) известна => - в точках непрерывности f(x,y).

Пример: Случ вектор (Х;У) равномерно распределен в круге радиуса R.

Найти функцию плотности.

кругу (if = если)

кругу

21. Как можно найти функции плотности распределения компонент X и Y двумерного случайного вектора (X,Y) если известна его плотность распределения f(x,y)? Как можно найти функции распределения компонент X и Y двумерного случайного вектора (X,Y) если известна его функция распределения f(x,y)?

1. Для того чтобы найти функцию распределения компоненты при известной функции распределения двумерного распределения. Необходимо проинтегрировать данную функцию распределения по противоположной компоненте, т.е.

f_x(x)= и соответственно наоборот.

f(x,y)=

f_x(x)= = 1/36 =

2. Если X и Y – независимые компоненты случ вектора (X,Y) и известна их ф-ия распр F_X(x) и F_Y(y), то его ф-ия распр F_x,y(x,y)= F_X(x)*F_Y(y). Обоснование.

Пусть A=(X<x), B=(Y<y), тогда P((XA)(YB))=F_x,y(x,y) и P(XA)*P(YB)= F_X(x)*F_Y(y), т.к. P((XA)(YB))=P(XA)*P(YB) (т.к. X и Y –независимые).