6. В чем состоит схема Бернулли. Приведите пример. Какими приближенным формулами и в каком случае пользуются при большом количестве испытаний?

Схема Бернулли: производится n независимых испытаний, в каждом из которых с одной и той же вероятностью p наступает некоторое событие А (называемое обычно «успехом») и, следовательно, с вероятностью q=1-p наступает событие , противоположное А.

При больших n и k используются приближенные формулы, при npq≥10 применяется формула Лапласа, при npq<10 формула Пуассона.

Локальная формула Муавра-Лапласа (какова вероятность. что число успехов = конкретному числу?)

Р_n(k)≈φ(х)/√( npq) , где φ(х)=1/ √(2п)*е^-х²/2, х= k-pq/√(npq) φ(х)- функция Гаусса.

Свойства функции Гаусса: 1)φ(х)= φ(-х) 2)φ(х)>0, имеет максимум при х=0 3)∫φ(х)dx=1

Интегральная формула Лапласа. (какова вероятность, что число успехов находится в интервале)

Р_n(k₁ ≤ k ≤k₂)≈Ф(х₂)-Ф(х₁); Х_1,2= k_1,2-pq/√(npq). Ф(х)-функция Лапласа = 1/ √(2п) ∫е^-х²/2

Свойства функции Лапласа: 1)Ф(-х)=-Ф(х) 2)При возрастании х от 0 до ∞ Ф(х) возрастает от 0 до 0,5

7. Укажите выражение для функции Лапласа Ф(x). Нарисуйте график y=Ф(x). Чему равно Ф(-12)?

Функция: Ф(x) =

График: симметричен относительно начала координат, проходит через (0;0). Горизонтальные асимптоты: -0,5 и 0,5.

Ф(-12) = 0,5.

8. Дайте определение математического ожидания дискретной случайной величины. Поясните его смысл на примере случайной величины с двумя возможными значениями, исходя из статистического определения вероятности.

Математическим ожиданием М(Х) дискретной случайной величины Х называется сумма произведений все её значений на соответствующие им вероятности. М(Х)=х₁р₁+х₂р₂+…+хnpn.

Пример:

х	1	2
p	0.7	0.3

M(X) = 1*0.7 + 2*0.3 = 1.3

9. Перечислите основные свойства математического ожидания дискретной случайной величины. Объясните, что понимается под суммой и произведением случайных величин. Какие дискретные случайные величины называются независимыми.

Математическое ожидание имеет следующие свойства:

1. Математическое ожидание случайной величины равно ей самой: М(С)=С

2. Постоянный множитель можно вынести за знак математического ожидания: М(сХ)=сМ(Х).

Следовательно: M(aX+bY)=aM(X)+bM(Y)

3. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их мат. Ожиданий:

4. Если случайные величины независимы, то мат. ожидание их произведений равно произведению их мат. ожиданий:

5. Мат. ожидание от функции равно:

Суммой (произведением) случайных величин X и Y называется случайная величина, которая принимает все возможные значения вида x_i + y _j (x _i * y _j) где i = 1,2,…, n; j = 1,2,…,m с вероятностями p_ij того, что случайная величина Х примет значение x _i , а Y – значение y _j

P_ij = p[(X= x_i)(Y= y _j)]

Две случайные величины называются независимыми, если закон распределения одной из них не меняется от того, какие возможные значения приняла другая величина.

10. Как определяется коэффициент корреляции ρ (X;Y) случайных величин X иY ? Чему равен ρ(X,Y) при условии независимости случайных величин X, Y ? Что можно сказать о ρ(X, Y), если Y=a+bX, где a и b – некоторые числа (b≠0)? Ответ обоснуйте.

Коэффициент корреляции случайных величин X и Y определяется формулой ρ (X;Y)= Cov(X;Y)/ (σ(X)*σ(Y)), где Cov(X;Y) – ковариация X и Y, а σ(X) – среднее квадратичное отклонение Х, σ(Y) – среднее квадратичное отклонение Y.

Если X и Y независимые случайные величины, то Cov(X, Y) = M(X,Y) – M(X)M(Y) = M(X)M(Y) - M(X)M(Y) = 0

Если (β≠0), то

Док-во: Cov(X,Y) = Cov(X, α + βX) = M (X(α+βX)) – M(X)M(α+βX) = M(Xα+βX²) - M(X)(M(α) + M(βX)) = M(Xα) + M(βX²) – αM(X) – β(M(X))² = β(M(X²) – (M(X))²) = βD(X)

То есть ч.т.д.

11. Каковы основные свойства функции распределения? Как вычисляется вероятность . Докажите равенства F(-∞) = lim (x→-∞) F(x) = 0, F(+∞) = lim (x→+∞) F(x) = 1.

Свойства функции распределения:

1) Р(x₁≤X≤x₂)= F(x₂) – F(x₁).

2) Ф.Р. – монотонно неубывающая функция, т.е. F(x₂)≥F(x₁),если х₂>х₁.

3) Если Х стремится к бесконечности, то F(x) к 1, если Х стремится к – бесконечности, то F(x) к нулю.

4) Ф.Р. непрерывна слева. У Д.С.В. функция распределения кусочно-постоянная.

5) Справедливо равенство 0

P(a≤X≤b)=P(b)-P(a).

F(-∞) = Р(X<-∞) = 0 как вероятность невозможного события Х < -∞.

F(+∞) = Р(X<+∞) = 1 как вероятность достоверного события Х < +∞.