3.Что такое случайная величина, дискретная случайная величина? Может ли
таблица
X 8 4 3p 0.4 0.1 0.1рассматриваться как закон распределения
дискретной случайной величины? Результат любого случайного эксперимента можно характеризовать качественно и количественно. Качественный результат случайного эксперимента - случайноесобытие. Любая количественная характеристика, которая в результате случайного эксперимента может принять одно из некоторого множества значений, - случайная величина.Случайная величина является одним из центральных понятий теории вероятностей.
Пусть - произвольное вероятностное пространство. Случайной величинойназывается действительная числовая функция = ( ), , такая, что при любом действительном x .
Событие принято записывать в виде < x. В дальнейшем случайные величины
Случайная величина - (в теории вероятностей) , величина, принимающая в зависимости от случайного исхода испытания те или иные значения с определенными вероятностями. Так, число очков, выпадающее на верхней грани игральной кости, представляет собой случайную величину, принимающую значения 1, 2, 3, 4, 5, 6 с вероятностью 1/6 каждое. мы имеем дело сдискретной случайной величиной (она принимает значения из дискретного числового множества M={1, 2, 3, 4, 5, 6} да, может. Если - дискретная случайная величина, принимающая значения x1 < x2 < … < xi < … с вероятностями p1 < p2 < … < pi < …, то таблица вида
x1 |
x2 |
… |
xi |
… |
p1 |
p2 |
… |
pi |
… |
называется распределением дискретной случайной величины.
4. Дисперсия суммы независимых случайных величин. Подсчет дисперсии
биномиального распределения. Дисперсия. Дисперсией называется математическое ожидание квадрата отклонения случайных величин от математического ожидания: D[Х]=M[X-M(X)]2 Дисперсия суммы независимых случайных величин Х и Y равна сумме их дисперсий: D(X+Y) = D(X) + D(Y), от сюда следствие: если х1, х2, ..., хn - случайные величины, каждая из которых независима от суммы остальных, то D(X1+X2+...+Xn) = D(X1) + D(X2)+...+D(Xn). РАСПРЕДЕЛЕНИЕ БИНОМИАЛЬНОЕ — распределение вероятностей случайной величины т, где m — общее число испытаний с исходом А в серии из п независимых испытаний, в каждом из которых событие А имеет постоянную вероятность р. Совокупность вероятностей: Pn(m = k) = Cknpk(1—p)n-k, где k = 0,1, . . ., п, называют биномиальным законом распределения вероятностей. Математическое ожидание Р. б.: Ет = пр. Дисперсия Р. б.: Dm = npq, где q = 1 — р. Характеристическая функция Р. б.: φ(t)=[q+рeit]n. Если n велико и р не зависит от n, то Р. б. аппроксимируется нормальным распределением: где Φ(x) — функция нормального распределения с параметрами (0,1). Если п велико, а р → 0 с ростом n, то Р. б. приближается распределением Пуассона : Следует отметить, что при п < 200 точность этих приближений недостаточнаПусть Е - некоторое событие, вероятность появления которого есть р, где 0 < р < 1. Тогда число m появлений события Е при n независимых наблюдениях есть случайная величина, принимающая значения m = 0, 1, 2, ..., n с вероятностями ?(q =1- p) Это Р. носит название биномиального распределения. Биномиальное Р. (см. рис. 1, а и
6. Сформулируйте «статистическое» определение вероятности. Почему вероятность удовлетворяет неравенствам 0 ≤ Р ≤ 1? Возможны ли случаи Р=0 и Р=1?
Вероятностью события А называется отношение числа исходов опыта, благоприятных этому событию, к числу возможных исходов: Свойство 1. Вероятность достоверного события равна единице. Доказательство. Так как достоверное событие всегда происходит в результате опыта, то все исходы этого опыта являются для него благоприятными, то есть т = п, следовательно, Р(А) = 1.
Свойство 2. Вероятность невозможного события равна нулю. Доказательство. Для невозможного события ни один исход опыта не является благопри-ятным, поэтому т = 0 и р(А) = 0.
Свойство 3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей. Доказательство. Случайное событие происходит при некоторых исходах опыта, но не при всех, следовательно, 0 < m < n, и из (1.1) следует, что 0 < p(A) <
Число,
к которому стремится устойчивая
относительная частота, называется
статистической вероятностью этого
события.
7 Когда несколько опытов называются независимыми? Приведите примеры.Несколько опытов называются независимыми, если вероятность исхода опыта не зависит от того, какие исходы имели другие опыты. случай, когда вероятности исходов опытов постоянны и не зависят от номера опыта.
Пусть один тот же опыт проводятся n раз. В каждом опыте некоторые события А1, А2, …, Аr появляется с вероятностями р1, р2, …, рп. Будем рассматривать не результат каждого конкретного опыта, а общее число появлений событий А1, А2, …, Аr .
Рассмотрим
случай с двумя возможными исходами
опытов, т.е. в результате каждого опыта
событие A появляется
с вероятностью р и
не появляется с
вероятностью q=1-p. Вероятность P(n,k) того,
что в последовательности из n опытов
интересующее нас событиепроизойдет
ровноk раз
(безразлично, в какой последовательности),
равна (формула
Бернулли)
