27. Система координат на плоскости. Преобразования системы координат.

1)Под системой координат на плоскости понимают способ, позволяющий численно описать положение точки плоскости. Одной из таких систем является прямоугольная (декартова) система координат.

Прямоугольная система координат задается двумя взаимно перпендикулярными прямыми — осями, на каждой из которых выбрано положительное направление и задан единичный (масштабный) отрезок.

Единичные векторы осей обозначают i и j (|i|=|j|=1, ). Систему координат обозначают Оху, а плоскость, в которой расположена система координат, называют координатной плоскостью.

Координатами точки Μ в системе координат Оху называются координаты радиуса-вектора OM. Если OM=(x;y), то координаты точки Μ записывают так: М(х;у), число x называется абсциссой точки М, у — ординатой точки Μ.

Другой практически важной системой координат является полярная система координат. Полярная система координат задается точкой О, называемой полюсом, лучом Ор, называемым полярной осью, и единичным векторомe того же направления, что и луч Ор.

2)Переход от одной системы координат в какую-либо другую называется преобразованием системы координат.

(1 случай)

Параллельный перенос осей координат

Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат Оху. Под параллельным переносом осей координат понимают переход от системы координат Оху к новой системе О1х1у1, при котором меняется положение начала координат, а направление осей и масштаб остаются неизменными.

Пусть начало новой системы координат точка О1 имеет координаты (х0;y0) в старой системе координат Оху, т. е. О1 (х0;y0). Обозначим координаты произвольной точки Μ плоскости в системе Оху через (х;у), а в новой системе O1x1y1 через (х';у') (см. рис. 28).

Р ассмотрим векторы:

следовательно

(2 случай)

Поворот осей координат

Под поворотом осей координат понимают такое преобразование координат, при котором обе оси поворачиваются на один и тот же угол, а начало координат и масштаб остаются неизменными.

Пусть новая система O1x1y1 получена поворотом системы Оху на угол α.

Пусть Μ произвольная точка плоскости, (х;у) — ее координаты в старой системе и (х';у') — в новой системе.

Введем две полярные системы координат с общим полюсом О и полярными осями Ох и Οx1 (масштаб одинаков). Полярный радиус r в обеих системах одинаков, а полярные углы соответственно равны α + j и φ, где φ — полярный угол в новой полярной системе.

По формулам перехода от полярных координат к прямоугольным имеем

Но rcosj = х' и rsinφ = у'. Поэтому

Полученные формулы называются формулами поворота осей. Они позволяют определять старые координаты (х; у) произвольной точки Μ через новые координаты (х';у') этой же точки М, и наоборот.

28. Линии на плоскости. Различные уравнения линий на плоскости.

1.Линия на плоскости рассматривается (задается) как множество точек, обладающих некоторым только им присущим геометрическим свойством. Например, окружность радиуса R есть множество всех точек плоскости, удаленных на расстояние - R от некоторой фиксированной точки О (центра окружности).

Введение на плоскости системы координат позволяет определять положение точки плоскости заданием двух чисел — ее координат, а положение линии на плоскости определять с помощью уравнения (т. е. равенства, связывающего координаты точек линии).

Уравнением линии (или кривой) на плоскости Оху называется такое уравнение F(x;y) = 0 с двумя переменными, которому удовлетворяют координаты x и у каждой точки линии и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на этой линии.

Переменные x и у в уравнении линии называются текущими координатами точек линии.

Уравнение линии позволяет изучение геометрических свойств линии заменить исследованием его уравнения.

Так, для того чтобы установить лежит ли точка А(x0; у0) на данной линии, достаточно проверить (не прибегая к геометрическим построениям), удовлетворяют ли координаты точки А уравнению этой линии в выбранной системе координат.

З адача о нахождении точек пересечения двух линий, заданных уравнениями F1(x1;y1) = 0 и F2(x2;y} = 0, сводится к отысканию точек, координаты которых удовлетворяют уравнениям обеих линий, т. е. сводится к решению системы двух уравнений с двумя неизвестными:

Если эта система не имеет действительных решений, то линии не пересекаются.

2) Уравнения линий на плоскости

Уравнение линии на плоскости — это уравнение, которому удовлетворяют координаты каждой точки данной линии и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на этой линии.

Если точка передвигается по линии, то ее координаты, изменяясь, удовлетворяют уравнению этой линии. Поэтому координаты называются текущими координатами.

Чтобы убедится, лежит ли точка на данной линии, надо проверить, удовлетворяют ли координаты этой точки уравнению.

Уравнения линии могут быть самыми различными, но не каждое уравнение имеет геометрический образ в виде линии.

Примеры:

Уравнение окружности: (x — xо)^2 + (y — yо)^2 = r^2

Уравнение прямой с угловым коэффициентом: y = k·x + b

Взаимное расположение двух линий

Для того чтобы определить взаимное расположение двух линий, надо знать уравнения этих линий. Если система этих уравнений имеет решения, то линии имеют общие точки. В противном случае общих точек нет. Число общих точек равно числу решений системы уравнений.