1.2 Построение эмпирических функций распределения и плотности на примере

Пример: Дана выборка n=20 (Таблица 1.1). Построить графики эмпирических функций распределения и плотности.

Таблица 1.1 – Таблица значений выборки

№ значения выборки	Значения выборки (х)	№ значения выборки	Значения выборки (х)
1	9,81	11	6,72
2	2,34	12	5,15
3	6,55	13	0,34
4	0,15	14	2,23
5	8,63	15	4,85
6	7,11	16	5,01
7	1,57	17	4,15
8	2,34	18	1,11
9	5,55	19	2,48
10	0,99	20	4,44

1. Представим выборку в виде вариационного ряда, где C_n ≤ C_n+1:

Таблица 1.2 – Таблица значений выборки в виде вариационного ряда

№ значения выборки	Значения выборки (х)	№ значения выборки	Значения выборки (х)
1	0,15	11	4,44
2	0,34	12	4,85
3	0,99	13	5,01
4	1,11	14	5,15
5	1,57	15	5,55
6	2,23	16	6,55
7	2,34	17	6,72
8	2,34	18	7,11
9	2,48	19	8,63
10	4,15	20	9,81

2. Используя значения выборки, построим группированный ряд наблюдений.

1. Определим min и max значения выборки:

х_min = 0,15 х_max = 9,81

2.2 Разобьем весь диапазон [х_min, х_max] на k равных интервалов, где количество интервалов рассчитывается по формуле (1.1). Результат округляем до ближайшего целого числа.

, (1.1)

где n – число элементов в выборке.

Получаем:

3. Определим ширину интервала по формуле (1.2). Результат вычисления округляем до ближайшего целого.

, (1.2)

где х_min – минимальное значение выборки;

х_max – максимальное значение выборки;

k – количество интервалов.

Получаем:

3. Определим крайние точки каждого интервала C₀, C₁, C₂…, при этом можно пользоваться различными способами, например:

1. если C₀ = х_min, тогда:

C₁= х_min+∆ C₂= х_min+2·∆ и т.д.

2) если C₀= х_min - ∆/2, получаем:

C₀= х_min - ∆/2 C₁= C₀+∆ C₂= C₁+∆ и т. д.

3. по формуле (1.3) находим середину интервала [х_min, х_max]

(1.3)

Затем от точки С откладываем в обе стороны значение, равное величине ∆.

Воспользуемся первым способом и определим крайние точки каждого интервала:

C₀= х_min= 0,15

C₁= х_min+∆ = 0,15+2 = 2,15

C₂= х_min+2·∆ = 0,15+2·2 = 4,15

C₃= х_min+3·∆ = 0,15+3·2 = 6,15

C₄= х_min+4·∆ = 0,15+4·2 = 8,15

C₅= х_min+5·∆ = 0,15+5·2 = 10,15

C₆= х_min+6·∆ = 0,15+6·2 = 12,15

3. Зная крайние точки каждого интервала, определим их середину по формуле (1.4)

, (1.4)

где n – номер интервала.

Получаем:

3. Определим частоту для каждого интервала (число выборочных данных попавших в каждый из интервалов).

Так как значения могут совпадать с границами интервалов, условимся в каждый k-ый интервал включать наблюдения большие или равные, чем нижняя граница интервала и меньше верхней границы, т,е. C_k-1 ≤ х < C_k.

Общее число наблюдений, отнесённое к k-му интервалу равно частоте ν_k данного интервала. Причём сумма частот всех интервалов ( ) не должна превышать общего числа элементов в выборке.

Накопленная частота для каждого интервала равна сумме частот (k – 1) и k интервалов.

Подсчитаем частоту и накопленную частоту для каждого интервала. Все расчеты сведем в таблицу 1.3.

Таблица 1.3 – Расчет частот для каждого интервала

k	(Ck, - Ck+1)
1	(0,15 – 2,15)	1.15	5	5
2	(2,15 – 4,15)	3.15	4	9
3	(4,15 – 6,15)	5.15	6	15
4	(6,15 – 8,15)	7.15	3	18
5	(8,15 – 10,15)	9.15	2	20
6	(10,15 – 12,15)	11.15	0	20

2.7 Вычислим эмпирический аналог функции плотности для каждого из интервалов (C_k,C_k+1) по формуле (1.5)

, (1.5)

где ∆ - ширина интервала,

n - число элементов в выборке,

- частота k интервала.

Для нашего примера:

2. Вычислим эмпирическую функцию распределения для каждого из интервалов (C_k, C_k+1) по формуле (1.6).

, (1.6)

где - накопленная частота k интервала

Для нашего случая:

2. Для дальнейшего удобства построения гистограммы и для всеобщей наглядности сведём все полученные нами ранее расчеты в сводную таблицу (Таблица 1.4)

Таблица 1.4 – Сводная таблица полученных данных

k	(Ck - Ck+1)
1	(0,15 – 2,15)	1,15	5	5	0,125	0,25
2	(2,15 – 4,15)	3,15	4	9	0,1	0,45
3	(4,15 – 6,15)	5,15	6	15	0,15	0,75
4	(6,15 – 8,15)	7,15	3	18	0,075	0,9
5	(8,15 – 10,15)	9,15	2	20	0,05	1
6	(10,15 – 12,15)	11,15	0	20	-	1

2. Для построения гистограммы (рисунок 1.1) на оси абсцисс откладываем крайние точки каждого из интервалов C₀, C₁, C₂…, а по оси ординат – эмпирический аналог функции плотности , тогда k-му интервалу будет соответствовать прямоугольник, основанием которого является замкнутый слева интервал [ С_k-1,C_k), а высота равна .

Если на верхних гранях полученных прямоугольных областей отложить точку середины каждого интервала и соединить полученные точки, то получим ломаную линию называемую полигоном.

2. Геометрическое представление эмпирической функции распределения называют кумулятивной прямой или кумулятой.

Для этого на оси абсцисс откладывают границы интервалов C₀, C₁, C₂…, а по оси ординат – значения функции распределения . Причём, значение функции распределения относят к верхней C_k границе k-ого интервала (рисунок 1.2).

Рисунок 1.1 – Гистограмма и полигон распределения признака

Рисунок 1.2 – Эмпирическая функция распределения