4.1 Теоретический рабочий цикл компрессора

при изотермическом сжатии

Изотермический процесс изменения состояния газа происходит при Т =const. Применительно к компрессору все тепло, образовавшееся при сжатии, должно быть отведено. Такой процесс подчиняется закону Бойля-Мариотта, т.е.

p₁v₁ = p₂v₂ = pv = const.

Тогда, работа, затраченная на изотермическое сжатие

.

Подставив это выражение в уравнение (48), получим полезную работу за цикл

,

где первый и последний члены взаимно уничтожаются, так как по условию изотермы они равны и противоположны по знаку. Тогда полезно затраченная работа в одном цикле компрессора при изотермическом сжатии равно только работе сжатия

(49)

Для удобства практических расчетов записывают удельную работу на 1 Н газа, для чего обе части разделим на вес газа G_н в Ньютонах, всасываемого за цикл

(50)

где v₁^′ - удельный весовой объем всасываемого газа v₁/ G_н.

Разделив обе части уравнения (49) на v₁, получим удельную объемную полезно затраченную работу в компрессоре

. (51)

Удельную весовую работу поршневого компрессора представим в координатах p - v₁^′ на рис.11, где она выражается площадью 1'-1-2-2'-1'.

Из уравнения (49) можно получить удельную работу поршневого компрессора на 1 кг массы воздуха, которая рассчитывается аналитически и определена с помощью энтропийной диаграммы по формуле

(52)

где Т₁ – абсолютная температура воздуха в конце всасывания, К; s₂ –s₁ – расстояние между линиями давлений р₂ и р₁, т.е. между точками 1 и 2 на энтропийной диаграмме, мм, а – масштаб энтропии (в 1 мм на данной диаграмме содержится i Дж/(кг∙град∙мм).

На энтропийной диаграмме (рис.12) в координатах T-s работа по уравнению (52) представляется площадью под линией изотермического сжатия 1-2.

4.2. Теоретический рабочий цикл поршневого компрессора

при адиабатическом сжатии

Адиабата характеризуется постоянством теплосодержания т.е. отсутствием теплообмена с окружающей средой dq = 0, система теплоизолирована. Поэтому образующееся при сжатии газа тепло не отводится. При адиабатном процессе изменение состояния энтропии не меняется (процесс изоэнтропийный) s =const и все тепло идет на приращение внутренней энергии газа. Температура газа определяется из основного уравнения состояния

(53)

приращение температуры

. (54)

На основании второго закона термодинамики приращение энтропии находится из уравнения (30)

. (55)

При адиабатном процессе ds =0. Подставляя значения Т из выражения (53) и dT из (54), получим

(56)

после интегрирования выражение (56) получим

К ln v +ln p +ln C = const; ln (pv^K) = ln C = const. (57)

Отсюда, потенцируя выражение (57) выводится основное выражение (38), характеризующее состояние газа при адиабатическом сжатии

p₁v₁^K = p₂v₂^K = pv^K = С. (58)

Это дает возможность решить интеграл из уравнения (46), выражая удельную массовую работу адиабатического сжатия:

Подставив в числитель значение с из уравнения (58) дважды с соответствующими индексами при v, получим

Уравнение удельной полезно затраченной работы цикла компрессора на 1 кг газа при адиабатическом сжатии легко получается прямым интегрированием выражения (58).

Преобразуем уравнение (58)

, (59)

в этом выражении являются известными р₁ и v₁ откуда

. (60)

Удельная полезно затраченная работа в цикле при адиабатическом сжатии 1 кг газа составит

(61)

Производим интегрирование уравнение (61), в результате получаем

. (62)

При этом можно показать, что работа сжатия в цикле составит

(63)

П рименительно к воздушному компрессору, для которого показатель адиабаты К=1,4, коэффициенты уравнения (62) составят

и , (64)

тогда

(65)

Удельная массовая работа цикла компрессора при адиабатическом сжатии представляется в координатах p-v (рис.13) площадью 1'-1-2-2'-1'.

Удельная объемная работа при адиабатическом сжатии после деления уравнения (65) на v, примет вид

(66)

Абсолютная температура в конце адиабатического сжатия

(67)

Уравнение (62) удельной (массовой) работы можно выразить в тепловых единицах в виде

. (68)

Памятуя, что с_р/с_v =K и pv =RT, получим удельную массовую работу цикла в компрессоре в тепловых единицах (Дж/кг).

. (69)

На энтропийной диаграмме (рис.14) в координатах Т-s эта работа представляется площадью под линией постоянного давления изобары на отрезке В-2, ограниченном температурами соответственно Т₂ и Т₁. Эта площадь из графика найдется как

(70)

где Т₂ и Т₁ – абсолютные температуре в конце и начале сжатия; s₁ = s₂ энтропия газа в начале и конце процесса сжатия (остается неизменной при адиабатическом изоэнтропном сжатии); s_B – энтропия газа при давлении р₂ и температуре Т₁; а – масштаб энтропии.

Удельная массовая работа сжатия на энтропийной диаграмме представляется площадью под линией постоянного объема отрезком 2-А, ограниченном также температурами Т₂ и Т₁, и определяется аналитически или из графика:

. (71)

Отсюда следует, что разность площадей выражающих работу цикла и процесса сжатия, представляет собой алгебраическую сумму работ выталкивания и всасывания, которую можно вычислить:

l_{1кг выт ад} - l_{1кг вс ад} = p₂ v₂ – p₁ v₁ =R (T₂ –T₁). (72)

Графически эта работа представляется площадью s_A –A-2-B-s_B.

Пример. Определить работу цикла на единицу массы воздуха при адиабатическом процессе сжатия по следующим данным: р₁ =10⁵ Па; р₂ =3∙10⁵ Па; Т₁ =288 К; ρ=1,2 кг/м³ .

По формуле (65) определим полезно затраченную работу в камере на 1 кг воздуха при адиабатическом процессе сжатия

Дж/кг.

Температура в камере сжатия по формуле (67)

К.

Работа адиабатического сжатия по формуле (63)

l_{1 кг сж ад} =2,5∙ 10⁵ ∙0,833∙0,369 = 7684 Дж/кг.

Отношение работы цикла к работе в процессе сжатия должно быть равно показателю адиабаты, т.е. 1,4.

Проведем расчет по энтропийной диаграмме. На рис.15 представлены в виде наклонных кривых изменения удельной энтропии, отнесенные к 1 кг массы сухого воздуха в функции изменения температуры. На данной диаграмме находим точку, отвечающую давлению р₁ = 10⁵ Па (толстая сплошная линия) и температуре Т₁=288К. Из этой точки восстанавливаем перпендикуляр до линии р₂ = 3·10⁵ Па и находим температуру в конце процесса сжатия Т₂=396К (погрешность менее 2%). Далее на энтропийной диаграмме при температуре Т₁=288К по горизонтали измерим расстояние межу линиями давления от давления р₁ = 10⁵ Па до давления р₂ = 3·10⁵ Па, получим l = 27,5 мм и умножим на масштаб энтропии а = 1,142 Дж/(кг·град·мм), что дает разность удельных энтропий (s₁–s₂)= 27,5·1,142=31,4 Дж/(кг·град).

По выражению (72) найдем

Дж/кг.

Погрешность не более 1,5%.