3. Теоретические основы термодинамических

ПРОЦЕССОВ В КОМПРЕССОРАХ

Изменение состояния газа в результате подвода или отвода энергии называется термодинамическим процессом. Многие реальные газы, состояние которых достаточно далеко от сжижения, подчиняются основным законам термодинамики идеальных газов, которые принято выражать зависимостями для массы 1 кг данного газа или смеси газов. Известное уравнение Менделеева-Клайперона, связывающее основные параметры состояния, приведенное к 1 кг, имеет вид уравнения (10).

pv =RT. (10)

Отсюда можно написать уравнение состояния газа

p₁v₁=RT₁; p₂v₂=RT₂ и т.д. (11)

Закон сохранения энергии применительно к термодинамическим процессам, протекающим в полостях компрессора, выражается первым законом термодинамики.

Первый закон термодинамики представляется аналитическими выражениями для определения энергии в формах, не проявляющихся в механическом движении, а в форме приращения внутренней энергии и в форме тепла.

Математически первый закон термодинамики для бесконечно малого изменения состояния 1 кг газа имеет вид

dq = du+dl = du+pdv; (12)

, (13)

где q – количество тепла, которым 1 кг газа обменивается с окружающей средой, т.е. которое подводится или отводится от него в процессе изменения состояния, Дж/кг; u₂ –u₁ - изменение внутренней энергии газа, т.е. тепло, идущее на нагрев или охлаждение газа, Дж/кг; - работа совершаемая над газом или производимая

1 кг газа, Дж/кг.

Уравнение (13) выражает первый закон термодинамики: количество тепла, сообщенное газу, частично идет на повышение внутренней энергии газа, а часть его может быть использована для совершения внешней механической работы расширения при переменном объеме.

В уравнении (13), исходя из условия покоящейся системы, отсутствуют составляющие внешней механической работы газа как сумма потенциальной и кинетической энергии. Потенциальная энергия положения газа на разных уровнях в компрессоре ничтожно мала, а кинетическая энергия в рабочей полости охлаждаемых компрессоров считается также малой, и учитывается только в неохлаждаемых компрессорах - центробежных и осевых.

В технике всегда стремятся к количественному выражению закономерностей в виде математических соотношений между физическими величинами. Первый закон термодинамики, как видно из уравнения (13) устанавливает количественную связь между тремя параметрами – теплом, работой и внутренней энергией.

При изучении теории компрессоров используются известные из термодинамики понятия и величины массовой удельной теплоемкости.

Удельная теплоемкость при постоянном объеме, т.е. когда подводимое к системе тепло расходуется на повышение только внутренней энергии системы dq_v =du. Отсюда изохорная теплоемкость, Дж/(кг∙град)

. (14)

Известно, что в общем случае, работа при изменении объема и работа при изменении давления совместно выражаются, как pdv+vdp=d(pv). т.е. их сумма представляет полный дифференциал параметра состояния.

Подставив в уравнение (12) значение pdv =d(pv)-vdp, выражение первого закона термодинамики в более общем виде примет вид

dq = du+d(pv)-vdp= d(u+pv) –vdp,

или

dq =di –vdp, (15 )

где i= u+pv = u +RT - энтальпия системы, Дж/(кг·град).

Таким образом, удельная энтальпия представляет собой сумму удельной внутренней энергии системы и произведения давления на удельный объем газа.

Из уравнения (15) следует, что если в системе поддерживается постоянное давление, т.е. dp = 0, то все подводимое тепло пойдет на приращение энтальпии

di=dq_p=du+pdv. (16)

Отсюда теплоемкость при постоянном давлении

. (17)

Удельные теплоемкости реальных газов c_p и c_v, как видно из выражений (14) и (17), являются функциями температуры. Однако практически в ограниченном диапазоне температур, встречающихся при работе компрессоров, эта зависимость незначительна и в обычных инженерных расчетах принимают средние значения теплоемкостей постоянными, т.е. c_p = const и c_v = const.

Заменив первый член правой части уравнения (17) через выражение

(14), а последний член выражением (10), получим другое выражение основного закона термодинамики – уравнение Майера

c_p = c_v +R. (18)

Первый закон термодинамики говорит о неуничтожимости энергии, т.е. утверждается, что происходит только преобразование энергии из одной формы в другую. Для любых энергетических преобразований всегда можно написать уравнение баланса. Однако из уравнения первого закона нельзя установить, можно ли любой вид энергии преобразовать в любой другой вид. Второй закон термодинамики, отвечая на поставленные вопросы, определяет направление протекания термодинамических процессов, накладывает определенные качественные и количественные ограничения на процессы.

Второй закон термодинамики говорит о том, что не всякая форма энергии может быть преобразована в любую другую форму энергии, а та, которая преобразуется, не вся может быть преобразована в любую другую форму энергии.

По направлению различают обратимые и необратимые процессы. Опытом установлено, что реальные процессы в природе необратимы и могут протекать самопроизвольно только в одном направлении.

Обратимый процесс рассматривается как идеализированный, предельный случай, протекающий при квазистатических изменениях состояния, для которых количество тепла и работы можно вычислить по изменению состояния системы. Обратимый процесс при возвращении системы в первоначальное состояние не вносит (или не требует) каких-либо изменений во внешней среде.

При работе компрессора неизбежны процессы теплообмена между газом, находящимся в рабочей камере, и окружающей средой, поэтому для решения инженерных задач, связанных с теплообменом, оказывается недостаточно формул, отвечающих первому закону термодинамики (для обратимых процессов). Для необратимых процессов широко используется понятие энтропии.

Энтропия, как необходимый параметр состояния системы, предложен Р. Клаузиусом в 1865 г. Энтропия является количественной формулировкой второго закона термодинамики в виде принципа необратимости.

Энтропия (от греч.) – превращение. Изменение энтропии в равновесном процессе равно отношению количества тепла dq, сообщенного системе (или отведенного от нее), к абсолютной температуре Т системы, т.е.

.

Учитывая выражения (10) и (12) можно записать

. (19)

Здесь ds представляет собой полный дифференциал некоторой функции s, называемой энтропией, которая не зависит от характера процесса и определяется только начальным и конечным состоянием системы.

В теоретическом рабочем процессе компрессора имеет место два термодинамических процесса: внесение в систему механической внешней работы, затраченной на сжатие газа, и теплообмен между системой и окружающей средой. Для определения количественной оценки необратимости тепловых процессов и пользуются понятием энтропии.

Изменение энтропии пропорционально обратимо подводимому или отводимому теплу. При подводе тепла энтропия растет, а при отводе – уменьшается.

Как механическая работа изменения объема изображается площадью в координатах p-v , так и тепло можно выразить площадью в координатах T-s . Обычно в инженерных расчетах энтропию и тепло относят к массе системы, следовательно, энтропийные диаграммы строят для одного килограмма сухого газа.

На энтропийной диаграмме наносят линии состояния двух процессов (изобары и изохоры), причем площадь под этими диаграммами представляет тепло, передаваемое в процессах. Это позволяет изображать в виде площадей изменения внутренней энергии и энтальпии.

Взяв неопределенный интеграл из выражения (19), с учетом (14) можно написать

(20)

Из уравнения состояния получим

s =c_v ln T + R ln v+c. (21)

Постоянную интегрирования с находят из начальных условий при s = 0 для произвольно выбранных значений Т₀ > 0 и v = v₀

c_v ln T₀ +R ln v₀ +c =0 (22)

откуда c =- c_v ln T₀ -R ln v₀. (23)

Подставив (23) в (21) получим

. (24)

Далее для тех же начальных и конечных условий из уравнения состояния (11) можно записать p₀v₀ =RT₀ и pv =RT , тогда второй член уравнения (24) превратится в двучлен из условия, что логарифм произведения равен сумме логарифмов, так как

(25)

Тогда

(26)

или .

Из уравнения (18) c_p = c_v +R получим

(27)

Для наглядного представления энтропийной диаграммы запишем уравнение (15) в следующем виде

dq = Tds =di – vdp = c_pdT – vdp. (28)

Интегрируем последнее выражение при постоянном давлении dp=0. Тогда приращение тепла для двух состояний системы в точках 1 и 2 составит

(29)

Полученная разность энтальпий представляется на диаграмме в координатах Т-s в виде площади под кривой изобары, представленной на рис.5.

Таким же образом из уравнения (13)

dq = Tds = du + pdv = c_vdT + pdv (30)

после интегрирования при dv=0 получаем

(31)

т.е. на энтропийной диаграмме (рис.5) конечное приращение внутренней энергии системы также представляется площадью, но под линией постоянного объема. Как видно из уравнений (24) и (27) линии изобар и изохор в координатах Т-s представлены экспоненциальными кривыми.

Рассмотрим представленную на рис.6 систему в двух точках при разных давлениях р₁ и р₂ с любой, но одинаковой температурой, например Т_а =Т₁ =Т₂ или Т_б = Т₁ =Т₂ и выделим расстояние расстояния между кривыми постоянного давления р₁ = const и р₂ = const. Тогда, независимо от температуры из выражения (27) получим

. (32)

Отсюда видно, что кривые изобар располагаются на диаграмме эквидистантно. То же самое получено и для кривых изохор.

Также из выражения (27) видно, что с увеличением давления энтропия уменьшается, поэтому линии изобар более высоких давлений располагаются левее изобар с низким давлением, а из уравнения (26) видно, что изохоры с увеличением удельного объема располагаются правее малых объемов, поскольку с увеличением объема энтропия возрастает.

И з выражения (18) имеем c_p - c_v =R, поэтому очевидно, что c_p>c_v и изохоры (см. уравнение (26)) располагаются всегда круче, чем изобары (см. уравнение (27)). На энтропийной диаграмме (рис.7) изобары показаны сплошными линиями, а изохоры пунктирными.

Энтропийная диаграмма представляет собой масштабную сетку в координатах Т и s, причем начало координат может быть взято произвольно в пределах давлений и температур, которые характеризуют рассматриваемый процесс, например, для анализа работы воздушного компрессора при Т₀ =273⁰К, р₀ =10⁵ Па, v₀ =0,8 м³/кг можно построить диаграмму в пределах изменений температуры от 248 (-25⁰С) до 573⁰К (+200⁰К), а давлений от 0,1 до 0,7 МПа.

Для построения диаграмм важен выбор масштабов, чем крупнее масштаб, тем точнее расчеты (рис. 8).

Если в энтропийной диаграмме задан какой-либо теоретический процесс (показан прямой линией 1-2), что характеризуется постоянством показателя политропного процесса (п =const), то количество подведенного тепла извне и отводимого тепла от системы представляется площадкой 1-2-3-4-1 с соответствующим направлению процесса знаком, вправо, т.е. от точки 2 к точке 1 – подвод тепла с увеличением энтропии, влево, от точки 1 к точке 2 – отвод тепла и уменьшение энтропии. При расчетах по энтропийной диаграмме используются значения абсолютных температур, поэтому начало оси ординат отвечает значению Т = 0. По оси абсцисс отсчитывается разность между начальным и конечным значением энтропии, отложенной в масштабе а, поэтому начало отсчета энтропии не имеет значения. Важны только разность и масштаб энтропии, который указывается на диаграмме (1 мм =а Дж/(кг∙град∙мм). Следовательно, по энтропийной диаграмме можно определять количество отводимого тепла умножением измеренной разности энтропий s₄ –s₃ на среднюю абсолютную температуру 0,5(Т₂ + Т₁).

Политропный процесс описывается уравнением

сdT =dq, (33)

т.е. количество тепла, подводимого или отводимого к одному килограмму газа (при постоянном значении удельной теплоемкости политропного процесса с = const), пропорционально приращению температуры. Теплоемкость с может иметь разные значения и каждое из них соответствует определенному значению показателя политропы n, связанному с давлением и объемом газа известным уравнением

pvⁿ = const, (34)

где .

Если, как показано на рис.8, являются известными значения p₁, v₁, p₂ и v₂, то логарифмируя уравнение (34), получим

п ln v₁ +ln p₁ = п ln v₂ +ln p₂

откуда

. (35)

Можно показать, что из рассмотрения уравнения (32), написанного для двух изобар, и аналогичного ему для двух изохор можно уравнение (34) написать в другом виде и получить следующее отношение, представленное на энтропийной диаграмме (рис. 8)

(36)

Таким образом, зная начальные и конечные параметры состояния p₁, v₁, p₂ и v₂, с помощью энтропийной диаграммы можно определять показатель политропы процессов.

Далее рассмотрим широко встречающиеся в теории компрессоров термодинамические процессы, отвечающие частным значениям показателя политропы.

Адиабатный (изоэнтропный) процесс, при котором отсутствует теплообмен между газом и внешней средой, т.е. dq = 0. При этом энтропия системы не изменяется. На энтропийной диаграмме изоэнтропный процесс изменения параметров газа при сжатии пойдет по линии 1-В.

Из уравнений (28) и (30) при dq =0 можно написать с_p dT = vdp и c_vdT = - pdv. Разделив почленно и зная, что показатель адиабаты c_p/c_v =К, получим

. (37)

Решение данного уравнения К lnv = - ln p +ln c или

pv^K = const. (38)

Таким образом, получено основное уравнение адиабаты. Из него с помощью выражения (11) можно получить аналитическое выражение температуры в конце процесса (в точке В)

(39)

Как известно, при адиабатическом процессе отсутствует теплообмен между газом и окружающей средой, поэтому все выделенное тепло при сжатии идет на приращение внутренней энергии газа и, согласно выражению (31) количество тепла в энтропийной диаграмме (рис.8) будет определяться площадью под линией постоянного объема, т.е. 4-В-Б^'-7-4, или принимая участок изохоры В- Б^' из-за малой кривизны за прямую линию, получим

,

где q – количество тепла, эквивалентное механической работе в компрессоре, затраченной только на процесс сжатия газа.

Изотермический процесс изменения состояния газа протекает при постоянной температуре T =const и описывается выражением

p₁v₁ = p₂v₂ =const (40)

Для поддержания постоянства температуры в процессе изменения параметров данной системы при сжатии, когда работа совершается над газом, необходимо образовавшееся тепло полностью отводить, а при расширении, когда газ производит работу, тепло необходимо подводить извне.

Количество тепла (подводимого или отводимого) при изотермическом процессе изменения состояния газа, т.е. когда du =0 и Т₁ = Т₂ = const, определяется из уравнения (13)

dq = dl =pdv (41)

В энтропийной диаграмме на рис.8 изотермический процесс представляется прямой 1-А и количество тепла, эквивалентное затраченной или полученной механической работе, определяется площадью 1-А-6-4-1; численно работа будет равна

q= T₁(s_p1 – s_p2) = T₁(s₄ – s₆). (42)

Политропный процесс сжатия применительно к теории поршневых компрессоров рассматривается как промежуточный между адиабатным и изотермическим процессами, т.е. с частичным отводом тепла от сжимаемого газа в окружающую среду. Количество тепла, которым газ обменивается с окружающей средой, определяется, как

(43)

Поскольку формулы (34) и (38), выражающие зависимость между параметрами газа при адиабатическом и политропном процессах, по форме написания совпадает, все другие формулы для политропы совпадают с формулами для адиабаты. Так, в формуле (39) температура при политропном процессе сжатия определяется при замене показателя k на показатель п.