3) Прогнозирование по аддитивной модели.

Сделать прогноз на ближайшие три квартала.

Необходимо сделать прогноз на 12, 13, 14 кварталы.

Прогнозные значения по модели с аддитивной компонентой рассчитываются как

F = T + S ( количество за квартал),

где трендовое значение Т = 20,24+2,98x, где х - номер квартала,

сезонная компонента S составляет -3,1 в 1 квартале, 4,8 во 2 квартале, 2,9 в 3 квартале, -4,6 в 4 квартале.

Т(12) = 20,24 + 2,98*12 = 56

Т(13) = 20,24 + 2,98*13 = 58,98

Т(14) = 20,24 + 2,98*14 = 61,96

Прогноз будет следующим:

F12 = 56 - 3,1 = 52,9

F13 = 58,98 + 4,8 = 63,78

F14 = 61,96 + 2,9 = 64,86

Вывод: чем более отдаленным является период упреждения, тем меньшей оказывается обоснованность прогноза. В данном случае мы предположим, что тенденция, обнаруженная по ретроспективным данным, распространяется и на будущий период. Для сравнительно небольших периодов упреждения такая предпосылка может действительно иметь место, однако ее выполнение становится менее вероятным по мере составления прогнозов на более отдаленную перспективу.

Построим график линейного, степенного и полиномиального тренда:

1.Линейная регрессия и оценка ее параметров.

Ранее было найдено, что b=2,98, a=20,24,

Получаем y=20,24 + 2,98*х

Вывод: т.к. a>0 , то относительное изменение результата происходит медленнее, чем изменение фактора.

2.Коэффициент корреляции (r_xy):

b= 2,98 - коэффициент регрессии

Вывод:

1) Т.к. коэффициент регрессии b=2,98, то товарооборот увеличивается в среднем на 2980шт.

2) Т.к. коэффициент корреляции r_xy =0,33, то мы имеем умеренную, тесную зависимость между нашими параметрами.

3.Коэффициент детерминации:

R² = 0,33² = 0,11

Вывод: Т.к. коэффициент детерминации очень близок к 0 (R²=0,11), то построенная модель достоверна.

4. Средняя ошибка аппроксимации:

=1/11*0,78*100% = 7,1%

Вывод: Т.к. средняя ошибка аппроксимации <10%, это свидетельствует о хорошем подборе модели к исходным данным.

5.Средний коэффициент эластичности:

Э=2,98*0,157= 0,46%

Вывод: на 0,46% в среднем изменится по совокупности товарооборот от своей средней величины при изменении временных кварталов на 1% от своей средней величины.

Упражнение 1.2

Спрос на стулья, которые продает компания «Peace Retailers», составил:

Год	1	2	3
Квартал	3 4	1 2 3 4	1 2 3 4
Спрос	157 137	156 151 153 141	154 152 154 142

Требуется:

1. Построить соответствующую модель с аддитивной компонентой.

2. Дать прогноз на первые два квартала четвертого года.

Решение:

2. Построение диаграммы временного ряда:

Товарооборот компании за последние 11 кварталов:

Дата	Номер квартала	Спрос
Январь - март 2009
Апрель - июнь
Июль - сентябрь	3	157
Октябрь - декабрь	4	137
Январь - март 2010	5	156
Апрель - июнь	6	151
Июль - сентябрь	7	153
Октябрь - декабрь	8	141
Январь - март 2011	9	154
Апрель - июнь	10	152
Июль - сентябрь	11	154
	12	142

Рис 1: Диаграмма временного ряда

2) Анализ модели с аддитивной компонентой: A = T + S + E

Аддитивная модель представляется как

Фактическое значение = Трендовое значение + Сезонная вариация + Ошибка,

т.е.

A = T + S + E.

2.1 Расчет сезонной компоненты методом скользящей средней (S).

Чтобы найти центрированную скользящую среднюю ищем её как среднюю двух соседних скользящих средних.

Таблица 1. Расчёт по 4 точкам центрированных скользящих средних значений тренда для модели

A - T = S + E

Дата	Объём товарооборота, тыс., A	Итого за четыре квартала	Скользящая средняя за четыре квартала	Центрированная скользящая средняя	Оценка сезонной компоненты A - T = S + E
Январь - март 2009
Апрель - июнь
Июль - сентябрь	157
Октябрь - декабрь	137
		601	150,25
Январь - март 2010	156			149,75	6,25
		597	149,25
Апрель - июнь	151			149,75	1,25
		601	150,25
Июль - сентябрь	153			150	3
		599	149,75
Октябрь - декабрь	141			149,875	-8,875
		600	150
Январь - март 2011	154			150,125	3,875
		601	150,25
Апрель - июнь	152			150,375	1,625
		602	150,5
Июль - сентябрь	154
октябрь - декабрь	142

Таким образом, получили десезонализированную среднюю за каждый квартал (кроме 2-х начальных и конечных).

Найдем средние значения сезонных оценок для каждого сезона года. Скорректируем средние значения, увеличивая или уменьшая их на одно и то же число (0,16) таким образом, чтобы общая их сумма была равна нулю.

Таблица 2.

Год	Номер квартала
	1	2	3	4
2009
2010	6,25	1,25	3	-8,875
2011	3,875	1,625
Итого	10,125	2,875	3	-8,875	Сумма
Оценка сезонной компоненты	5,06	1,44	3,00	-8,88	0,63
Скорректированная сезонная компонента*	4,91	1,28	2,84	-9,03	0,00

Корректируем сезонную компоненту следующим образом: полученную сумму усредненных оценок сезонных компонент делим на 4 (число кварталов) и полученное частное вычитаем из оценки сезонной компоненты, приравнивая таким образом их сумму к нулю. (Это необходимо, чтобы усреднить значения сезонной компоненты в целом за год).

Из полученных значений видно неравномерное распределение товарооборота по кварталам: положительный прирост в январе по сентябрь и отрицательный – в октябре-декабре.

2.2. Десезонализация данных при расчете тренда

Десезонализация заключается в вычитании соответствующих значений сезонной компоненты из фактических значений, данных за каждый квартал, т.е. A – S = T + E.

Таблица 3.

Дата	квартал	Объём товарооборота, тыс. A	Сезонная компонента S	Десезонализированный объём продаж, тыс. шт. A - S = T + E
Январь - март 2007
Апрель - июнь
Июль - сентябрь	3	157	3	154
Октябрь - декабрь	4	137	-8,88	145,88
Январь - март 2008	5	156	5,06	150,94
Апрель - июнь	6	151	1,44	149,56
Июль - сентябрь	7	153	3	150
Октябрь - декабрь	8	141	-8,88	149,88
Январь - март 2009	9	154	5,06	148,94
Апрель - июнь	10	152	1,44	150,56
Июль - сентябрь	11	154	3	151
Октябрь - декабрь	12	142	-8,88	150,88
Январь - март 2007

Рис.2. Фактический и десезонализирванный товарооборот.

Гистограмма с линией тренда ОХ – квартал, ОУ товарооборот. Линия тренда – оценка.

2.3. Оценка значений тренда.

T = a + b х – номер квартала, где x – порядковый номер квартала, y – значение (T + E) в предыдущей таблице. С помощью калькулятора подсчитаем:

,

,

 x = 75, х² =645 ,  y =1501,64

 xy =11264,24 , n =10

b=-0,2364

a=151,0

Трендовое значение объема продаж, тыс. шт: Т =149,99+0,02 x Номер квартала

2.4. Расчет ошибок или остатка.

Вычитая из фактического товарооборота значения тренда и сезонной составляющей можно найти значения ошибок.

Таблица 4.

Дата	квартал	Объём товарооборота, тыс. A	Сезонная компонента S	Трендовое значение, тыс. шт. Т	Ошибка, тыс. шт. A - S - T = E
Январь - март 2007
Апрель – июнь
Июль – сентябрь	3	157	3	154	149,93
Октябрь – декабрь	4	137	-8,88	145,88	149,91
Январь - март 2008	5	156	5,06	150,94	149,89
Апрель – июнь	6	151	1,44	149,56	149,87
Июль – сентябрь	7	153	3	150	149,85
Октябрь – декабрь	8	141	-8,88	149,88	149,83
Январь - март 2009	9	154	5,06	148,94	149,81
Апрель – июнь	10	152	1,44	150,56	149,79
Июль – сентябрь	11	154	3	151	149,77
Октябрь - декабрь	12	142	-8,88	150,88	149,75

Среднее абсолютное отклонение (MAD) или среднеквадратическая ошибка (MSE):

1,366,

3,81.

Тенденция, выявленная по фактическим данным, достаточно устойчивая и позволяет получить хорошие краткосрочные данные.

Построим графики, на котором отразим фактические данные, значения тренда и оценки