Билет №40. Нахождение проекции точки на прямую.

Вообще проецирование некоторой фигуры на прямую является обобщением понятия ортогонального проецирования фигуры на плоскость (смотрите статью проекция точки на плоскость).

Так как все геометрические фигуры состоят из точек, а проекция фигуры представляет собой множество проекций всех точек этой фигуры, то для проецирования фигуры на прямую необходимо уметь проецировать точки этой фигуры на данную прямую.

Так что же называют проекцией точки на прямую?

Определение.

Проекция точки на прямую – это либо сама точка, если она лежит на данной прямой, либо основание перпендикуляра, опущенного из этой точки на заданную прямую.

На приведенном ниже рисунке точка H1 является проекцией точки M1 на прямую a, а точка M2 есть проекция самой точки М2 на прямую a, так как М2 лежит на прямой a.

Это определение проекции точки на прямую справедливо как для случая на плоскости, так и для случая в трехмерном пространстве.

На плоскости, чтобы построить проекцию точки М1 на прямую a нужно провести прямую b, которая проходит через точку М1 и перпендикулярна прямой a. Тогда точка пересечения прямых a и b является проекцией точки М1 на прямую a.

В трехмерном пространстве проекцией точки М1 на прямую a является точка пересечения прямой a и плоскости , проходящей через точку М1 перпендикулярно к прямой a.

К началу страницы

Нахождение координат проекции точки на прямую – теория и примеры.

Начнем с нахождения координат проекции точки на прямую, когда проецируемая точка и прямая заданы в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости. После этого покажем, как находятся координаты проекции точки на прямую в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве.

Координаты проекции точки на прямую на плоскости.

Пусть на плоскости зафиксирована прямоугольная система координат Oxy, задана точка , прямая a и требуется определить координаты проекции точки М1 на прямую a.

Решим эту задачу.

Проведем через точку М1 прямую b, перпендикулярную прямой a, и обозначим точку пересечения прямых a и b как H1. Тогда H1 – проекция точки М1 на прямую a.

Из проведенного построения логически следует алгоритм, позволяющий найти координаты проекции точки на прямую a:

составляется уравнение прямой a, если, конечно, оно не дано сразу (это легко сделать, если Вы знаете основные уравнения прямой на плоскости);

записывается уравнение прямой b, которая проходит через точку и перпендикулярна прямой a (с этой задачей Вам поможет справиться статья уравнение прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданной прямой);

находятся требуемые координаты проекции точки М1 на прямую a как координаты точки пересечения прямых a и b – для этого решается система уравнений, составленная из уравнений прямых a и b.

Координаты проекции точки на прямую в трехмерном пространстве.

Теперь переходим к нахождению координат проекции точки на прямую относительно прямоугольной системы координат Oxyz, введенной в трехмерном пространстве.

Пусть в пространстве зафиксирована прямоугольная система координат Oxyz, задана точка , прямая a и требуется найти координаты проекции точки М1 на прямую a.

Решим эту задачу.

Построим плоскость , которая проходит через точку М1 перпендикулярно к прямой a. Проекцией точки М1 на прямую a является точка пересечения прямой a и плоскости . Таким образом, получаем алгоритм, позволяющий найти координаты проекции точки на прямую a:

записываем уравнения прямой a, если они не заданы в условии задачи (справиться с этой задачей поможет материал статьи уравнения прямой в пространстве);

составляем уравнение плоскости , которая проходит через точку М1 перпендикулярно прямой a (об этом написано в статье уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно к заданной прямой);

находим требуемые координаты проекции точки на прямую a – ими являются координаты точки пересечения прямой a и плоскости (смотрите статью координаты точки пересечения прямой и плоскости).

БИЛЕТ №41.

Параллельные прямые в пространстве. Расстояние между ними.

БИЛЕТ №42.

Скрещивающиеся прямые в пространстве. Расстояние между ними.

БИЛЕТ №43.

Нахождение угла между прямыми.

Определение. Если заданы две прямые y = k1x + b1 , y = k2x + b2 , то острый угол между этими прямыми будет определяться как

.

Две прямые параллельны, если k1 = k2 . Две прямые перпендикулярны, если k1 = -1/ k2 .

Теорема. Прямые Ах + Ву + С = 0 и А 1 х + В1 у + С1 = 0 параллельны, когда пропорциональны коэффициенты А1 = λА, В1 = λВ. Если еще и С1 = λС, то прямые совпадают. Координаты точки пересечения двух прямых находятся как решение системы уравнений этих прямых.

или

БИЛЕТ №44.

Условие перпендикулярности прямых.

l1 l2 + m1 m2 + n1 n2 = 0

где {l1,m1,n1} и {l2,m2,n2} - направляющие вектора прямых.

БИЛЕТ №45.

Условие перпендикулярности прямой и плоскости.

где {l1,m1,n1} и {l2,m2,n2} - направляющие вектора прямых.

БИЛЕТ №46.

Уравнение окружности.

Уравнение окружности ω (A; R) имеет вид (x – a)2 + (y – b)2 = R2, где a и b – координаты центра A окружности ω (A; R) .

БИЛЕТ №47.

Уравнение эллипса.

Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний каждой из которых до двух заданных фокусов есть величина постоянная.

a,b – полуоси эллипса.

БИЛЕТ №48.

Уравнение гиперболы.

Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, абсолютная величина разности расстояний каждой из которых до двух заданных фокусов, находящихся на расстоянии 2с является величиной постоянной, равной 2а.

Здесь a - действительная полуось гиперболы, b - мнимая полуось гиперболы.

БИЛЕТ №49.

Уравнение параболы.

Параболой называется геометрическое место точек плоскости, каждая из которых равноудалена от заданной точки – фокуса, и заданной прямой, называемой директрисой, причём расстояние от точки до прямой равно р.

y² = 2px

БИЛЕТ №50.

Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов. Нахождение коэффициентов линейного разложения векторов.

Линейной комбинацией геометрических векторов называется вектор

Системой из N векторов называется линейно независимой, если ни один из них не является и не может быть представлен в виде линейной комбинации других векторов этой системы.

Если линейная комбинация всех этих векторов является нулевым вектором, то в случае равенства нулю всех «С»: , иначе если “Ci” не равно нулю, то система векторов называется линейно зависимой.

(? - Нахождение коэффициентов линейного разложения векторов)

1 Для вычисления разности необходимо умножить вычитаемое на минус единицу и сложить получившиеся компоненты.

2 Порядки матриц считаются согласованными, если число столбцов первой матрицы равно числу строк второй.

3 Порядки матриц считаются согласованными, если число столбцов первой матрицы равно числу строк второй.

4 Единичным называется такой вектор, который имеет единичную и колиниарен (параллелен) данному.

5 Комплонарные вектора – вектора, лежащие в одной плоскости, или в параллельных плоскостях

6 Тройка векторов называется правой, если из третьего вектора кротчайший поворот от первого ко второму виден, как поворот против часовой стрелки.