Билет №38. Нахождение точки пересечения прямой и плоскости.

Пример.

Найдите координаты точки пересечения прямой и плоскости .

Решение.

Подставим в уравнение плоскости выражения :

Находим координаты точки пересечения прямой и плоскости по параметрическим уравнениям при :

Ответ:

(3, 0, -1).

Пример.

Если прямая пересекается с плоскостью , то найдите координаты точки их пересечения.

Решение.

Составим систему из заданных уравнений . Для нахождения ее решения используем метод Гаусса. Метод Гаусса позволит нам не только определить, имеет ли записанная система уравнений одно решение, бесконечное множество решений или не имеет ни одного решения, но и найти решения в случае их наличия.

Последнее уравнение системы после прямого хода метода Гаусса стало неверным равенством, следовательно, система уравнений не имеет решений. Отсюда заключаем, что прямая и плоскость не имеют общих точек. Таким образом, мы не можем говорить о нахождении координат их точки пересечения.

Ответ:

прямая параллельна плоскости и они не имеют точки пересечения.

Билет №39. Нахождение проекции точки на плоскость.

Еще раз подчеркнем, что мы будем говорить о перпендикулярной проекции точки на плоскость.

Выполним построения, которые помогут нам дать определение проекции точки на плоскость.

Пусть в трехмерном пространстве нам задана точка М1 и плоскость . Проведем через точку М1 прямую a, перпендикулярную к плоскости . Если точка М1 не лежит в плоскости , то обозначим точку пересечения прямой a и плоскости как H1. Таким образом, точка H1 по построению является основанием перпендикуляра, опущенного из точки M1 на плоскость .

Определение.

Проекция точки М1 на плоскость - это сама точка М1, если , или точка H1, если .

Данному определению проекции точки на плоскость эквивалентно следующее определение.

Определение.

Проекция точки на плоскость – это либо сама точка, если она лежит в заданной плоскости, либо основание перпендикуляра, опущенного из этой точки на заданную плоскость.

На приведенном ниже чертеже точка H1 есть проекция точки М1 на плоскость ; точка М2 лежит в плоскости , поэтому М2 – проекция самой точки М2 на плоскость .

Нахождение координат проекции точки на плоскость – решения примеров.

Пусть в трехмерном пространстве введена прямоугольная система координат Oxyz, задана точка и плоскость . Поставим перед собой задачу: определить координаты проекции точки М1 на плоскость .

Решение задачи логически следует из определения проекции точки на плоскость.

Обозначим проекцию точки М1 на плоскость как H1. По определению проекции точки на плоскость, H1 – это точка пересечения заданной плоскости и прямой a, проходящей через точку М1 перпендикулярно к плоскости . Таким образом, искомые координаты проекции точки М1 на плоскость - это координаты точки пересечения прямой a и плоскости .

Следовательно, чтобы найти координаты проекции точки на плоскость нужно:

получить уравнение плоскости , если оно сразу не дано (в этом Вам поможет статья виды уравнения плоскости);

составить уравнение прямой a, которая проходит через точку М1 и перпендикулярна к плоскости (смотрите уравнение прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно к заданной плоскости);

определить координаты точки пересечения прямой a и плоскости (при необходимости обращайтесь к статье нахождение координат точки пересечения прямой и плоскости) – это и есть искомые координаты проекции точки М1 на плоскость .