Число бросаний Относит. Частота появления герба

4040 0,50693

12000 0,5016

24000 0,5005

Французский естествоиспытатель Бюффон (XVIII в.) бросил монету 4040 раз, и при этом герб выпал в 2048 случаях. Следовательно, частота выпадения герба в данной серии испытаний равна

0,50693… . Английский математик Карл Пирсон (1857-1936) бросал монету 24000 раз, причем герб выпал 12012 раз. Следовательно, частота выпадения герба в данной серии испытаний равна: 0,5005… . Расхождение с математической вероятностью в четвертом знаке после запятой. Это закон больших чисел.

Определение. При статистическом определении вероятностью события называют относительную частоту события при большом числе испытаний или число близкое к ней:

Вероятность PAвыражает количественную меру появления события в данных сериях испытаний.

Пример. Наблюдения показывают, что в среднем среди 1000 новорожденных детей 515 мальчиков. Какова относительная частота рождения мальчика в такой серии наблюдений?

Решение. .

Согласно закону больших чисел, относительная частота обладает определенной устойчивостью, то есть ее значения изменяясь, колеблются около некоторого неотрицательного числа, к которому она стремится при n → ∞, (неограниченном возрастании числа испытаний).

2.3. Условная вероятность

Пусть имеем два последовательных случайных событий. Ставится вопрос: какова вероятность наступления второго события, если первое событие уже произошло?

Пример. Пусть в урне было 5 шаров, (2 белых+ 3 черных). Найти вероятность извлечь белый шар во втором испытании.

Решение. После извлечения первого шара в ней останется 4 шара и один белый в их числе (если извлекли первым белый шар), или 2 белых ( если в первый раз извлечен черный шар).

В первом случае вероятность извлечь белый шар во второй раз будет , во втором . Таким образом, вероятность извлечь белый шар во втором испытании зависит от результата первого испытания.

Понятия условной вероятности и независимости введены А. Муавром в 1718 г.

Определение. Условная вероятность это вероятность одного события, вычисленная в предположении, что другое событие произошло.

Вероятность события в предположении, что произошло событие обозначается как .

Определение. Два или несколько событий называются независимыми, если вероятность появления каждого из них не зависит от того, имели ли место другие события.

Определение. Два или несколько событий называются зависимыми, если появление одного из них влияет на вероятность наступления других.

Из этих определений следует математическая запись условия независимости двух событий

= - событие не зависит от события

= - событие не зависит от события .

Если выполняются оба эти условия. То события и называются взаимно-независимыми событиями.

Пример. Событие A – извлечение из колоды туза, событие B – то, что и вторая вынутая из колоды карта - туз. Тогда, если после первого раза карта была возвращена в колоду, то вероятность вынуть вторично туз не меняется:

Если же первая карта в колоду не возвращается, то осуществление события A приводит к тому, что в колоде осталась 31 карта, в числе которых имеются только 3 туза. Поэтому