13.3. Законы распределения функций случайных величин.

13.3.1. Закон распределения функции одного случайного аргумента.

В предыдущих параграфах мы познакомились с методами определения числовых характеристик функций случайных величин; главное удоб­ство этих методов в том, что они не требуют нахождения законов распределения функций. Однако иногда возникает необходимость в определении не только числовых характеристик, но и законов рас­пределения функций.

Задача о нахождении закона распределения функции одного дискретного случайного аргумента по известному закону распределения самого аргумента уже рассматривалась в п.13.1.

Рассмотрим теперь задачу о нахождении закона распределения функции одного непрерывного случайного аргумента.

Постановка задачи. Пусть имеется непрерывная случайная величина X с заданной плотностью рас­пределения f(x). Другая случайная величина Y связана с нею известной функ­циональной зависимостью:

Предполагаем, что функция непрерывна и дифференцируема.

Требуется найти плотность распределения случайной величины Y.

Рассмотрим участок оси абсцисс (а, b), на котором лежат все возможные значения величины X, т. е.

В частном случае, когда область возможных значений X ничем не ограничена,

Способ решения поставленной задачи зависит от поведения функ­ции на участке (а, b), возрастает ли она на этом участке или убывает, или колеблется.

1. Функция на участке (а, b) монотонно возрастает или убывает.

Пусть функция на участке (а, b) монотонно возрастает:

Для того чтобы определить плотность распределения g (у) случайной величины Y, най­дем сначала функцию распреде­ления величины Y:

Проведем прямую AB, параллельную оси абсцисс, на расстоянии y от нее. Чтобы выполнялось условие Y < у, случайная точка (X, Y) должна попасть на тот участок кривой, который лежит ниже прямой АВ; для этого необходимо и достаточно, чтобы слу­чайная величина X попала на участок оси абсцисс от а до х, где х — абсцисса точки пересечения кривой y и прямой АВ. Следовательно,

,

где плотность распределения случайной величины X.

Верхний предел х интеграла можно выразить через y:

где — функция, обратная функции . Тогда

,

Дифференцируя интеграл по переменной у, входящей в верх­ний предел, получим:

Аналогично можно показать, что, если функция на участке (а, b) монотонно убывает, то

Объединяем две полученные формулы в одну и получаем выражение для плотности распределения, в случае, когда функция случайного аргумента монотонна

Пример. Случайная величина X подчинена закону с плотностью распределения:

Величина Y связана с X зависимостью Y = . Найти плотность распределения ве­личины Y.

Решение. Так как функция монотонна на участке от , то можно применить формулу

По условию . Тогда

Тогда

Пример. Случайная величина X подчинена нормальному закону с плотностью распределения:

а случайная величина Y связана с ней линейной функциональной зависимостью:

где a и b неслучайные коэффициенты.

Требуется найти закон распределения случайной величины Y.

Решение. Так как функция монотонна на участке от , то можно применить формулу

В нашем случае: ; ; ;

Тогда

или окончательно

Полученный закон есть не что иное, как нормальный закон распределения с параметрами:

Таким образом, на этом примере мы убедились, что линейная функция от аргу­мента, подчиненного нормальному закону, также подчинена нормальному закону. Чтобы найти центр рассеивания этого закона, нужно в выражение линейной функции вместо аргумента подставить его центр рассеивания. Чтобы найти среднее квадратичное откло­нение этого закона, нужно среднее квадратичное отклонение аргу­мента умножить на модуль коэффициента при аргументе в выражении линейной функции.