Тема 5. Повторение опытов.

При практическом применении теории вероятностей часто прихо­дится встречаться с задачами, в которых один и тот же опыт или аналогичные опыты повторяются неоднократно. В результате каждого опыта может появиться или не появиться некоторое событие А, при­чем нас интересует не результат каждого отдельного опыта, а общее число появлений события А в результате серии опытов. Например, если производится группа выстрелов по одной и той же цели, нас, как правило, интересует не результат каждого выстрела, а общее число попаданий. В подобных задачах требуется уметь определять вероятность любого заданного числа появлений события в результате серии опытов. Такие задачи и будут рассмотрены в данной главе. Они решаются весьма просто в случае, когда опыты являются

н е­ зависимыми.

Несколько опытов называются независимыми, если вероятность того или иного исхода каждого из опытов не зависит от того, какие исходы имели другие опыты. Например, несколько последовательных бросаний монеты представляют собой независимые опыты. Несколько последовательных извлечений карты из колоды представляют собой независимые опыты при условии, что вынутая карта каждый раз воз­вращается в колоду и карты перемешиваются; в противном случае это — зависимые опыты. Несколько выстрелов представляют собой независимые опыты только в случае, если прицеливание производится заново перед каждым выстрелом; в случае, когда прицеливание про­изводится один раз перед всей стрельбой или непрерывно осуще­ствляется в процессе стрельбы (стрельба очередью) выстрелы представляют собой зависимые опыты.

Независимые опыты могут производиться в одинаковых или раз­личных условиях. В первом случае вероятность события А во всех опытах одна и та же. Во втором случае вероятность события А от опыта к опыту меняется. К первому случаю относится частная задача, а ко второму — общая задача о повторении опытов. В данном курсе будет рассмотрена частная задача.

5.1. Частная задача о повторении опытов (схема Бернулли)

Схемой Бернулли называется последовательность независимых опытов, в каждом из которых возможны лишь два исхода: появление события A, или непоявление события A. Вероятность появления события A в каждом опыте постоянна и равна а вероятность его непоявления равна .

Ставится задача определения вероятности того, что событие A в серии из n опытов произойдет ровно m раз.

Рассмотрим событие В_т, состоящее в том, что событие А появится в n опытах ровно т раз. Это событие может осуществиться различ­ными способами. Если событие А появится т раз подряд, начиная с первого опыта, то событие В_т можно записать в виде

В_т = ,

– означают непоявление событий в опытах, начиная с номера .

Поскольку опыты в схеме Бернулли независимы, то и события, являющиеся результатами этих опытов также независимы. Поэтому

P(В_т )= = p^mq^n-m.

Событие A может наступить т раз в n опытах в разной последовательности. При этом число возможных сочетаний появлений т событий A в серии из n опытов равно Следовательно, искомая вероятность (обозначим ее будет равна

.

Эта формула называется формулой Бернулли.

Пример. Игральная кость выбрасывается 15 раз. Найти вероятность того, что в данной серии опытов выпадет ровно 10 троек.

Решение. Условие задачи удовлетворяет условиям схемы Бернулли. Здесь n=15, т=10, вероятность выпадения трех очков в каждом опыте равна , вероятность не выпадения трех очков в каждом опыте равна Тогда

Применяя теорему сложения вероятностей несовместных событий можно получить следующую формулу для вероятности появления события A не менее k раз в серии из n опытов по схеме Бернулли

Эту формулу можно, в частности применить для нахождения вероятности появления события A не менее одного раза в серии из n опытов или другими словами – хотя бы один раз. Но проще найти эту вероятность исходя из противоположного события , которое состоит в том, что событие A не появится ни разу в n опытах. Очевидно, что события A и вместе образуют полную группу событий. А это значит, что . Найдем вероятность по формуле Бернулли, полагая , что m=0:

Тогда

.

Пример. Игральная кость выбрасывается 15 раз. Найти вероятность того, что в данной серии опытов выпадет хотя бы одна тройка.

Решение. Условие задачи удовлетворяет условиям схемы Бернулли. Здесь n=15, т=10, вероятность выпадения трех очков в каждом опыте равна . Тогда

=