8.2. Закон Пуассона

При большом числе испытаний n и малой вероятности р формулой Бернулли пользоваться неудобно. В этом случае для вычисления вероятности того, что в n опытах событие произойдет m раз, используют формулу Пуассона.

где - параметр закона Пуассона.

Рассмотрим дискретную слу­чайную величину X, которая может принимать только целые, неотрицательные значения:

0, 1, 2, .... т, ....

причем последовательность этих значений теоретически не ограничена. Говорят, что случайная величина X распределена по закону Пуассона, если вероятность того, что она примет определенное зна­чение т, выражается формулой Пуассона:

Ряд распределения случайной величины X, распределенной по закону Пуассона, имеет вид:

xm	0	1	2	…	m	…
Pm				…		…

Отличительная особенность распределения Пуассона состоит в том, что его математическое ожидание и дисперсия равны параметру распределения :

Таким образом, дисперсия случайной величины, распределенной по закону Пуассона, равна ее математическому ожиданию.

Закон Пуассона является предельным для биномиального распределения, если одновременно устремлять число опытов n к бесконечности, а вероятность р появления события в каждом опыте к нулю, причем их произведение сохраняет постоянное значение: np = :

.

Это предельное свойство биномиального распределения часто находит практическое применение при и Тогда для вычисления вероятности того, что событие A появится m при n испытаниях можно воспользоваться приближенной формулой

где параметр того закона Пуассона, которым приближенно заменяется биномиальное распределение.

От этого свойства закона Пуассона - приближенно заменять биномиальное распределение при большом числе опытов и малой вероятности наступления события в каждом опыте – происходит его название, часто применяемое в учебниках статистики: закон редких явлений.

Пример. АТС производит в среднем 2000 соединений в час. Вероятность ошибочного соединения равна 0,001. Какова вероятность того , что за час будет:

а) ровно три ошибочных соединения m=3;

б) менее трех ошибочных соединений m < 3;

в) более трех ошибочных соединений m > 3.

Решение. Рассматриваемые события – ошибочные соединения - независимы, поэтому имеет место биномиальное распределение числа ошибочных соединений. Число опытов n=2000 – велико, вероятность ошибочного соединения в одном опыте – мала: p = 0,001. Поэтому биномиальное распределение можно приближенно заменить распределением Пуассона с параметром :

,

где np =

Тогда:

а) вероятность ровно трех ошибочных соединений равна

б) вероятность менее трех ошибочных соединений

в) более трех ошибочных соединений

8.3. Контрольные вопросы.

1.Что называется биноминальным законом распределения? Записать формулы для вычисления числовых характеристик дискретной случайной величины, распределенной по биномиальному закону.

2. Какое распределение называется распределением Пуассона?

3. В каком случае применяется закон распределения Пуассона и в чем состоит его особенность?

4. Какая формула используется для вычисления вероятности того, что в n испытаниях событие А появится ровно m раз при малом числе испытаний?

5. Какая формула используется для вычисления вероятности того, что в n испытаниях событие А появится ровно m раз при большом числе испытаний и малой вероятности p?