1.4. Контрольные вопросы

1. Что изучает теория вероятностей?

2. Кто основатель теории вероятностей как строгой математической дисциплины?

3. Основная числовая характеристика случайного события.

4. Как определяются случайное, достоверное и невозможное события?

5. В чем недостатки классического определения вероятностей?

6. Как подразделяются события по характеру совместной связи ?

7. Классификация событий по степени возможности их проявления

8. Приведите примеры полной группы событий.

9. С какой вероятностью монета, брошенная дважды, по крайней мере один раз выпадет гербом?

10. Докажите, что события A,B, AB образуют полную группу.

Тема 2. Геометрическое и статистическое определения вероятности

2.1. Геометрическая вероятность

Одним из недостатков классического определения вероятности, ограничивающим его применение, является то, что оно предполагает конечное число возможных исходов испытания.

Этот недостаток преодолен в классическом геометрическом определении вероятности, т.е. находя вероятность попадания точки в некоторую область (отрезок, часть плоскости и т.д.). Геометрическое

определение вероятности является обобщением классического определения вероятности на

случайный эксперимент с бесконечным числом равновозможных случайных исходов, изображаемых точками, прямой, плоскостью, пространством и т.д.

Пусть плоская фигура g составляет часть плоской фигуры G. На фигуру G наудачу бросается точка. Это означает, что все точки области G «равноправны» в отношении попадания туда брошенной случайной точки. Фигуру g называют благоприятствующей событию A.

Область, на которую распространяется понятие геометрической вероятности может быть одномерной (прямая, отрезок), двумерной и трехмерной и. т. д.

Определение. Геометрическая вероятность события A - отношение меры области, благоприятствующей появлению события A к мере всей области

Пример. В квадрат со стороной 4см «бросают» точку. Какова вероятность, что расстояние от

этой точки до ближайшей стороны квадрата будет меньше 1 см?

Р ешение. Закрасим в квадрате множество точек, удаленных от ближайшей стороны меньше, чем на 1см.

Площадь не закрашенной части квадрата . Площадь большого квадрата . Тогда, в соответствии с определением геометрической вероятности, получим

2.2. Статистическая вероятность. Закон больших чисел.

Недостатком классического определения вероятности является то, что не всегда удается узнать, являются исходы испытания равновозможными или не являются. Число равновозможных исходов конечно. Результат испытаний не всегда можно представить в виде совокупности элементарных событий. Введем понятие статистической вероятности. Если производить многократно повторение одного и того же опыта, то относительное число появлений данного события во всей серии опытов, или частота его появления, будет близка к значению его вероятности. Оказывается, что при большом числе испытаний n, относительная частота появления события А в различных сериях отличается друг от друга мало и это отличие тем меньше, чем больше испытаний в сериях.

Определение. Абсолютной частотой случайного события A в серии из N случайных опытов называется число NA , которое показывает, сколько раз в этой серии произошло событие A .

Определение. Относительной частотой случайного события называют отношение числа появлений этого события к общему числу проведенных экспериментов:

Пример. Выпадение герба. При небольшом количестве опытов относительное число появлений герба будет отличаться от 0.5, но если увеличить число до несколько десятков тысяч, то

небольшие отклонения не могут оказать влияния на общий результат. Такие опыты проводились Бюффоном (Франция), и Пирсоном (Англия), при этом получены следующие результаты.