13.2. Теоремы о числовых характеристиках функций случайных величин.

В п. 13.1 мы привели ряд формул, позволяющих нахо­дить числовые характеристики функций, когда известны законы рас­пределения аргументов. Однако во многих случаях для нахождения числовых характеристик функций не требуется знать даже законов распределения аргументов, а достаточно знать только некоторые их числовые характеристики; при этом мы вообще можем обойтись без ка­ких бы то ни было законов распределения. Определение числовых характеристик функций по заданным числовым характеристикам ар­гументов широко применяется в теории вероятностей и позволяет значительно упрощать решение ряда задач. По преимуществу такие упрощенные методы относятся к линейным функциям; однако неко­торые элементарные нелинейные функции также допускают подобный подход.

В настоящем параграфе мы изложим ряд теорем о числовых характери­стиках функций, широко применимый в практических приложениях.

Свойства математического ожидания

1. Математическое ожидание постоянной случайной величины равно самой постоянной, т.е.

М (С)=С,

где С – некоторое число.

(Постоянной случайной величиной С называется такая случайная величина, которая принимает единственное значение равное С с вероятностью 1.)

2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания, т.е.

где произвольное число.

3. Математическое ожидание суммы двух независимых случайных величин равно сумме математических ожиданий этих случайных величин, т.е.

4. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий, т.е.

5. Математическое ожидание произведения двух зависимых случайных величин равно произведению математических ожиданий этих случайных величин плюс корреляционный момент

6. Пусть – такие случайные величины, математические ожидания которых равны между собой, т.е. где и а – некоторое число. Тогда среднее арифметическое этих случайных величин равно их общему математическому ожиданию, т.е.

Свойства дисперсии

1. Дисперсия постоянной случайной величины равна нулю, т.е.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его при этом в квадрат, т.е.

где – произвольное число.

3. Справедливо равенство:

4. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих случайных величин

5. Дисперсия суммы двух зависимых случайных величин равна сумме дисперсий этих случайных величин плюс удвоенный корреляционный момент

6. Дисперсия произведения двух независимых случайных величин определяется по формуле

7. Пусть случайные величины – независимы и , где Тогда

Заметим, что перечисленные свойства математического ожидания и дисперсии справедливы как для дискретных, так и для непрерывных случайных величин. Некоторые из вышеперечисленных свойств уже рассматривались в пп.7.1 и 7.2. Доказательство их легко можно провести, опираясь на понятие числовых характеристик функций случайных величин.

Пример. Пусть случайная величина – распределена по биномиальному закону с параметрами n и p , тогда параметры ее распределения могут быть найдены по формулам. Известно

(п. 8.1), что для биномиального распределения:

Тогда из свойств математического ожидания и дисперсии следует:

Очевидно, что использование этих свойств упрощает и ускоряет вычисление математического ожидания и дисперсии случайной величины, распределенной по биномиальному закону по сравнению с применением исходных определений для М (Х) и

Пример. Математическое ожидание числа по­явлений события при нескольких опытах.

Производится п опытов, в каждом из которых может появиться или не появиться некоторое событие . Вероятность появления события в i-м опыте равна Найти математическое ожидание , дисперсию и среднее квадратичное отклонение случайной величины числа появле­ний события в n опытах.

Решение. Представим дискретную случайную величину X в виде

где — число появлений события в первом опыте,

— число появлений события во втором опыте,

……………………………………………………..

— число появлений события в n-м опыте.

Причем каждая из величин есть дискретная случайная величина с двумя возможными значениями:

0 или 1. Ряд распределения величины имеет вид:

0	1

где вероятность того, что событие в i-м опыте не появится.

По теореме сложения математических ожиданий:

.

Найдем математическое ожидание дискретной случайной величины , заданной ее рядом распределения:

Подставляя это выражение в предыдущую формулу, имеем

т. е. математическое ожидание числа появлений события при нескольких опытах равно сумме вероятностей события в от­дельных опытах.

В частности, когда условия опытов одинаковы, т.е. формула математического ожидания принимает вид

Так как теорема сложения математических ожиданий применима к любым случайным величинам — как зависимым, так и независимым, полученные формулы математического ожидания применимы к любым опытам — зависи­мым и независимым.

Дисперсию и среднее квадратичное отклонение числа появлений события в n опытах будем искать исходя из предположения о независимости опытов.

В силу независимости опытов случайные величины независимы и к ним применима теорема сложения дисперсий:

.

Найдем дисперсию дискретной случайной величины , заданной ее рядом распределения:

Подставляя это выражение в предыдущую формулу, имеем

т. е. дисперсия числа появлений события при нескольких опытах равно сумме вероятностей появления и непоявления события в от­дельных опытах.

Из этой формулы находим среднее квадратичное отклонение числа появлений события

При неизменных условиях опытов, когда (схема Бернулли п.5.1) формулы дисперсии и среднего квадратичного отклонения упрощаются и принимают вид:

=

,

что соответствует числовым характеристикам, полученным в п.8.1 для биномиального распределения.