12.2. Плотность распределения системы двух непрерывных случайных величин.

Плотностью совместного распределения вероятностей (двумерной плотностью вероятности) непрерывной двумерной случайной величины называется смешанная частная производная 2-го порядка от функции распределения:

Замечание. Двумерная плотность вероятности представляет собой предел отношения вероятности попадания случайной точки в прямоугольник со сторонами к площади этого прямоугольника при

Геометрически функцию f(x, у) можно изобразить некоторой поверхностью:

Эта поверхность аналогична кривой распределения для одной случайной ве­личины и называется поверхностью распределения.

Если пересечь поверхность рас­пределения f(x,у) плоскостью, ­параллельной плоскости хОу, и спроек­тировать полученное сечение на плоскость хОу, получится кривая, в каждой точке которой плотность распределения постоянна. Такие кри­вые называются кривыми равной плотности. Часто бывает удобно задавать распределение семейством кривых равной плотности.

Рассматривая плотность распределения f (х) для одной случайной величины, мы ввели понятие «элемента вероятности» f(x)dx. Это есть вероятность попадания случайной вели­чины X на элементарный участок dх, приле­жащий к точке х. Аналогичное понятие «элемента вероятности» вводится и для си­стемы двух случайных величин. Элементом вероятности в данном случае называется выражение

f(x,y)dxdy.

Очевидно, элемент вероятности есть не что иное, как вероятность попадания в эле­ментарный прямоугольник со сторонами dх,dy, примыкающий к точке (х, у):

Эта вероятность равна объему элементарного параллелепипеда, ограниченного сверху поверхностью f(x,у) и опи­рающегося на элементарный прямоугольник dxdy:

Пользуясь понятием элемента вероятности, выведем выражение для вероятности попадания случайной точки в произвольную область D. Эта вероятность, очевидно, может быть получена суммированием (интегрированием) элементов вероятности по всей области D:

Геометрически вероятность попадания в область D изображается объемом цилиндрического тела С, ограниченного сверху поверхностью распределения и опирающегося на область D:

Из общей формулы для вероятности попадания случайной точки в произвольную область D вытекает формула для вероятности попадания случайной точки в прямоугольник R, ограниченный абсциссами и и ординатами и :

Воспользуемся этой формулой для того, чтобы выразить функ­цию распределения системы F(x,у) через плотность распределения f(x,у). Функция распределения F(x,у) есть вероятность попадания случайной точки (X,Y) в бесконечный квадрант; последний можно рассматривать как прямо­угольник, ограниченный абсциссами — и x и ординатами и у. Тогда

Легко убедиться в следующих свойствах плотности распределения системы:

1. Плотность распределения системы есть функция неотрица­тельная:

(х, у) 0.

Это ясно из того, что плотность распределения есть предел отно­шения двух неотрицательных величин: вероятности попадания в пря­моугольник и площади прямоугольника — и, следовательно, отрица­тельной быть не может.

2. Двойной интеграл в бесконечных пределах от плотности рас­пределения системы равен единице:

Это следует из того, что вероятность попадания случайной точки на всю плоскость хОу, есть вероятность достоверного события. Геометрически это свойство означает, что полный объем тела, ограниченного поверхностью распределения и плоскостью хОу, равен единице.

Пример. Система двух случайных величин (X, Y) подчинена закону распределения с плотностью

Определить вероятность попадания случайной точки (X,Y) в квадрат R, изображенный на рисунке

Решение. Вероятность попадания в прямоугольник R :

Зная закон распределения системы двух случайных величин, можно всегда определить законы распределения отдельных величин, входящих в систему.

Чтобы получить плотность распределе­ния одной из непрерывных случайных величин, входящих в систему, нужно плотность рас­пределения системы проинтегрировать в бесконечных пределах по аргументу, соответствующему другой случайной величине:

Эти формулы дают возможность, зная закон распределения системы, заданный в виде плотности распределения , найти законы распределения отдельных величин, входящих в систему.

Пример. Система двух непрерывных случайных величин (X, Y) подчинена закону распределения с плотностью

Определить плотности распределения каждой из случайных величин X и Y.

Решение.

Аналогично