Тема 12. Системы случайных величин……………………………………………………………………63

12.1. Функция распределения системы двух случайных величин…………………………………………64

12.2. Плотность распределения системы двух непрерывных случайных величин……………………….67

12.3. Таблица распределения системы двух дискретных случайных величин……………………………70

12.4. Условные законы распределения и их числовые характеристики…………………………………...72

12.5. Зависимые и независимые случайные величины……………………………………………………...75

12.6. Числовые характеристики системы двух случайных величин……………………………………….77

Тема 13. Функции случайных величин……………………………………………………………………82

13.1. Числовые характеристики функций случайных величин……………………………………………..82

13.2. Теоремы о числовых характеристиках функций случайных величин……………………………….86

13.3. Законы распределения функций случайных величин…………………………………………………89

13.3.1. Закон распределения функции одного случайного аргумента……………………………………..89

13.3.2. Закон распределения функции двух случайных аргументов……………………………………….94

13.3.3. Закон распределения суммы двух непрерывных случайных аргументов. Композиция законов распределения…………………………………………………………………………………………………96

Тема 14. Предельные теоремы теории вероятностей………………………………………………….100

14.1. Законы больших чисел. Центральная предельная теорема…………………………………………100

14.1.1. Неравенство Чебышева ……………………………………………………………………………...101

14.1.2. Теорема Чебышева………………………………………………………………………………… ..101

14.1.3. Теорема Бернулли …………………………………………………………………………………...104

14.2. Центральная предельная теорема …………………………………………………………………….105

Тема 15. Случайные функции…………………………………………………………………………….108

15.1. Понятие случайной функции…………………………………………………………………………108

15.2. Закон распределения случайной функции……………………………………………………………109

15.3. Вероятностные характеристики случайных функций……………………………………………….110

15.4. Стационарные случайные функции…………………………………………………………………...114

Тема 16. Вероятностные основы теории информации…………………………………………………116

16.1. Энтропия как мера степени неопределенности состояния физической системы………………….116

16.2. Энтропия и информация……………………………………………………………………………….120

Приложение. Приближённые значения функции стандартного нормального распределения…..122

Литература…………………………………………………………………………………………………...123

Введение

Обычно считают, что теория вероятностей возникла в середине XVII столетия, причем ее появление связывают с именами П. Ферма (1601-1665), Б. Паскаля (1623-1662) и Х. Гюйгенса (1629-1695). Отправным пунктом исследований являлись задачи, связанные с азартными играми, особенно играми в кости, поскольку при их изучении можно ограничиваться простыми и понятными математическими моделями. Игра в карты – тоже азартная игра, потому, что в ней главную роль играет случай - от него зависит, какие именно карты окажутся у партнеров. Математика случая‖ — так еще в XVII в. назвал теорию вероятностей один из ее основателей, французский ученый Блез Паскаль

Классическая теория вероятностей рассматривает вероятность как отношение числа благоприятствующих случаев ко всем возможным. При этом предполагается, что все рассмотренные случаи являются равновозможными, равновероятными. Гюйгенс в сочинении "О расчетах при игре в кости" писал: "...думаю, при внимательном изучении предмета читатель заметит, что имеет дело не только с игрой, но что здесь закладываются основы очень интересной и глубокой теории".

Значительное влияние на развитие теории вероятностей оказали Д. Бернулли (1654-1705), А. Муавр (1667-1754), Т. Байес (1702-1763), П. Лаплас (1749-1827), К. Гаусс (1777-1855), С. Пуассон (1781-1840). Например, Д. Бернулли принадлежит первое доказательство одного из важнейших положений теории вероятностей - так называемого "закона больших чисел". Теорема, которую он доказал, устанавливает связь между вероятностью события и частотой его появления.

Развитие теории вероятностей тесно связано с традициями и достижениями русской науки. Фундаментальные результаты были получены П. Л. Чебышевым (1821-1894), А. М. Ляпуновым (1857-1918), позже большой вклад в ее развитие внесли Е. Е. Слуцкий (1903-1987) и ряд других.