7.2. Дисперсия. Среднеквадратическое отклонение.

Значения наблюдаемых в практике случайных величин всегда колеблются около среднего значения (математического ожидания). Это явление называется рассеиванием величины около ее среднего значения. Числовые характеристики, описывающие степень рассеивания случайной величины называются характеристиками рассеивания и основные из них - дисперсия и

среднеквадратическое отклонение. Само слово дисперсия означает «рассеивание».

Отклонения противоположных знаков в среднем взаимно погашаются. Поэтому в качестве меры рассеивания берут математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания математическое ожидание центрированной случайной величины.

Определение. Дисперсией называется математическое ожидание квадрата разности случайной величины и ее математического ожидания.

Для дисперсии случайной величины мы будем использовать следующие обозначения: или .

В соответствии с определением:

=

Чем большие отклонения в обе стороны от среднего значения возможны у

данной случайной величины и чем больше вероятности таких отклонений, тем больше дисперсия случайной величины. В частном случае, когда среднее значение случайной величины равно нулю, дисперсия характеризует разброс значений случайной величины в обе стороны от нуля.

Дисперсия, как и математическое ожидание, являются величиной не случайной.

В ряде случаев для вычисления дисперсии удобней использовать формулу

.

Это означает, что дисперсия равна разности математического ожидания квадрата случайной величины и квадрата ее математического ожидания.

Действительно,

=

Свойства дисперсии.

1. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя его в квадрат:

2. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:

DX Y DX DY 

3. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:

DX Y DX DY 

4. Дисперсия неслучайной (детерминированной) величины равна нулю:

=

5. Дисперсия принимает только неотрицательные значения. Это свойство следует из определения дисперсии.

Из определения дисперсии ясно, что дисперсия случайной величины имеет размерность квадрата случайно величины; для наглядности удобнее пользоваться характеристикой рассеивания, размерность которой совпадает с размерностью случайной величины. Для этого из дисперсии извлекают квадратный корень. Полученная величина называется средним квадратичным отклонением случайной величины (сокращенно с.к.о.). Среднее квадратичное отклонение будем обозначать σ[X] или σ_x. Таким образом, с.к.о. вычисляется по формуле

σ[X] = .

В случае, когда не возникает сомнения, к какой случайной величине относятся эти характеристики, мы будем использовать обозначения дисперсии и с.к.о. без индексов: D и σ.

Математическое ожидание и с.к.о. – наиболее часто применяемые характеристики случайной величины. Они характеризуют наиболее важные черты распределения: его положение и степень разбросанности. Так, например, если случайная величина Х – есть доходность некоторого актива, то M[X] – средняя (прогнозная) доходность актива, а D[X] – мера отклонения (колебания) доходности от ожидаемого среднего значения, то есть риск актива.

Пример. Рассмотрим две случайные величины X и Y , заданные рядами распределения вида

xi	49	50	51
pi	0,1	0,8	0,1

xi	0	100
pi	0,5	0,5

Найти дисперсии и среднеквадратические отклонения дискретных случайных величин X и Y .

Решение. Из предыдущего примера: MX 50 , MY 50 . Найдем дисперсии и .

; σ_x =

= σ_y =

Определение. Начальным моментом k – порядка случайной величины Х называется математическое ожидание k степени этой величины:

= .

Определение. Центральным моментом k – порядка случайной величины Х называется математическое ожидание k степени отклонение центрированной случайной величины :

Замечание.

Начальный момент 1-го порядка равен математическому ожиданию:

Центральный момент 2 -го порядка равен дисперсии: .