- •Часть I. Теория вероятностей
- •Тема 1. Классическое определение вероятности…………………………………………............................4
- •Тема 2. Геометрическое и статистическое определения вероятности……………………………………8
- •Тема 3. Алгебра событий....................................................................................................................................12
- •Тема 4. Формула полной вероятности и формула Байеса………………………………………………...15
- •Тема 5. Схема Бернулли……………………………………………………………………………………….19
- •Тема 6. Дискретные случайные величины....................................................................................................25
- •Тема 12. Системы случайных величин……………………………………………………………………63
- •Тема 13. Функции случайных величин……………………………………………………………………82
- •Тема 14. Предельные теоремы теории вероятностей………………………………………………….100
- •Тема 15. Случайные функции…………………………………………………………………………….108
- •Тема 16. Вероятностные основы теории информации…………………………………………………116
- •Тема 1. Классическое определение вероятности
- •Случайные события.
- •Классификация событий
- •Классическое определение вероятности.
- •1.4. Контрольные вопросы
- •Тема 2. Геометрическое и статистическое определения вероятности
- •2.1. Геометрическая вероятность
- •2.2. Статистическая вероятность. Закон больших чисел.
- •Число бросаний Относит. Частота появления герба
- •2.3. Условная вероятность
- •2.4. Контрольные вопросы
- •2.5. Задачи для самостоятельно решения
- •Тема 3. Алгебра событий
- •3.1. Произведение событий
- •3.2. Сумма событий. Свойства операций сложения и умножения событий.
- •3.3. Вероятность появления хотя бы одного из событий.
- •3.4. Принцип практической невозможности.
- •3.5. Контрольные вопросы
- •Тема 4. Формула полной вероятности события и формула Байеса
- •4.1. Формула полной вероятности события
- •4.2. Формула Байеса
- •4.3. Контрольные вопросы
- •4.4. Задачи для самостоятельно решения
- •Тема 5. Повторение опытов.
- •5.1. Частная задача о повторении опытов (схема Бернулли)
- •5.2. Независимые испытания с несколькими исходами.
- •5.3. Формулы Муавра-Лапласа
- •5.3.1. Локальная теорема Муавра-Лапласа. Функция Гаусса.
- •5.3.2. Интегральная теорема Муавра-Лапласа. Функция Лапласа.
- •Тема 6. Дискретные случайные величины
- •6.1. Классификация случайных величин
- •6.2. Законы распределения дискретных случайных величин
- •6.2.1. Ряд распределения. Многоугольник распределения
- •6.2.2. Функция распределения
- •Тема 7. Числовые характеристики дискретных случайных величин
- •7.1. Характеристики положения. Математическое ожидание. Мода. Медиана.
- •7.2. Дисперсия. Среднеквадратическое отклонение.
- •7.3. Контрольные вопросы.
- •Тема 8. Законы распределения дискретных случайных величин
- •8.1. Биномиальное распределение (закон Бернулли).
- •8.2. Закон Пуассона
- •8.3. Контрольные вопросы.
- •8.4. Задачи для самостоятельного решения.
- •Тема 9. Непрерывные случайные величины
- •9.1. Законы распределения непрерывных случайных величин.
- •9.1.1. Интегральный закон распределения
- •9.1.2. Плотность распределения
- •10.1. Математическое ожидание. Мода. Медиана.
- •10.2. Дисперсия. Среднее квадратичное отклонение.
- •10.3. Моменты распределения.
- •10.4. Контрольные вопросы.
- •Тема 11. Законы распределения непрерывных случайных величин
- •11.1. Закон равномерной плотности.
- •11.2. Задачи для самостоятельного решения.
- •11.3. Экспоненциальное (показательное) распределение.
- •11.4. Задачи для самостоятельного решения.
- •11.5. Нормальный закон распределения.
- •11.5.1. Плотность нормального распределения вероятностей.
- •11.5.2. Нормальная функция распределения.
- •11.6. Контрольные вопросы
- •11.7. Задачи для самостоятельного решения.
- •Тема 12. Системы случайных величин
- •12.1. Функция распределения системы двух случайных величин.
- •12.2. Плотность распределения системы двух непрерывных случайных величин.
- •12.3. Таблица распределения системы двух дискретных случайных величин.
- •12.4. Условные законы распределения и их числовые характеристики.
- •12.5. Зависимые и независимые случайные величины
- •12.6. Числовые характеристики системы двух случайных величин.
- •Тема 13. Функции случайных величин
- •13.1. Числовые характеристики функций случайных величин.
- •13.2. Теоремы о числовых характеристиках функций случайных величин.
- •13.3. Законы распределения функций случайных величин.
- •13.3.1. Закон распределения функции одного случайного аргумента.
- •Функция на участке (а, b) монотонно возрастает или убывает.
- •2. Функция на участке (а, b) не является монотонной.
- •13.3.2. Закон распределения функции двух случайных аргументов.
- •13.3.3. Закон распределения суммы двух непрерывных случайных аргументов. Композиция законов распределения.
- •Тема 14. Предельные теоремы теории вероятностей
- •14.1. Закон больших чисел. Центральная предельная теорема.
- •14.1.1. Неравенство Чебышёва.
- •14.1.2. Теорема Чебышёва.
- •14.1.3. Теорема Бернулли
- •14.2. Центральная предельная теорема.
- •Тема 15. Случайные функции
- •15.1. Понятие о случайной функции.
- •15.2. Закон распределения случайной функции.
- •15.3. Вероятностные характеристики случайных функций.
- •15.4. Стационарные случайные функции.
- •Тема 16. Вероятностные основы теории информации
- •16.1. Энтропия как мера степени неопределенности состояния физической системы.
- •16.2. Энтропия и информация.
- •Приложение. Приближённые значения функции стандартного нормального распределения
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
Московский государственный индустриальный университет
(ГОУ МГИУ)
Факультет экономики, менеджмента и информационных технологий
Кафедра математических методов в экономике
«Вероятностное знание – вот предел человеческого разумения»
Цицерон.
Лекции по учебной дисциплине
Теория вероятностей и математическая статистика
Часть I. Теория вероятностей
Составил Алибеков И.Ю.
Москва, 2011
Содержание
Введение .................................................................................................................................................................4
Тема 1. Классическое определение вероятности…………………………………………............................4
Случайные события…………………………………………………………………………………………..4
Классификация событий .................................................................................................................................5
1.3.Классическое определение вероятности ........................................................................................................6
1.4.Контрольные вопросы......................................................................................................................................7
Тема 2. Геометрическое и статистическое определения вероятности……………………………………8
2.1. Геометрическая вероятность ..........................................................................................................................8
2.2.Статистическая вероятность. Закон больших чисел. ....................................................................................9
2.3.Условная вероятность .................................................................................................................................... 10
2.4 Контрольные вопросы.....................................................................................................................................11
2.5.Задачи для самостоятельно решения ............................................................................................................11
Тема 3. Алгебра событий....................................................................................................................................12
3.1.Произведение событий ...................................................................................................................................12
3.2.Сумма событий. Свойства операций сложения и умножения событий. ...................................................12
3.3.Вероятность появления хотя бы одного из событий....................................................................................13
3.4.Принцип практической невозможности .......................................................................................................14
3.5.Контрольные вопросы.....................................................................................................................................14
Тема 4. Формула полной вероятности и формула Байеса………………………………………………...15
4.1.Формула полной вероятности события ........................................................................................................15
4.2.Формула Бейеса ..............................................................................................................................................16
4.3.Контрольные вопросы.....................................................................................................................................17
4.4.Задачи для самостоятельно решения ............................................................................................................18