Свойства математического ожидания

1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной: . 2. Постоянный множитель можно вынести за знак математического ожидания: . 3. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: . Следствие. Математическое ожидание произведения нескольких взаимно независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий. 4. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых: . Следствие. Математическое ожидание суммы нескольких случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых.

Пусть производится   независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события   постоянна и равна  . Тогда справедлива следующая теорема. Теорема. Математическое ожидание числа появлений события   в   независимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления этого события в каждом испытании: .

Разность между случайной величиной и ее математическим ожиданием называется отклонением. Теорема. Математическое ожидание отклонения равно нулю: .

Дисперсией дискретной случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величиной от ее математического ожидания: . Дисперсия имеет размерность, равную квадрату размерности случайной величины. Теорема. Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины   и квадратом ее математического ожидания: .

Свойства дисперсии

1. Дисперсия постоянной величины равно нулю: . 2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат: . 3. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равно сумме дисперсий этих случайных величин: . Следствие. Дисперсия суммы нескольких взаимно независимых случайных величин равно сумме дисперсий этих величин. 4. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равно сумме дисперсий этих случайных величин: .

Теорема. Дисперсия числа появлений события   в   независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность   появления события постоянна, равна произведению числа испытаний на вероятность   появления и вероятность   непоявления этого события в одном испытании: .

Средним квадратическим отклонением случайной величины называют квадратный корень из дисперсии: . Размерность среднего квадратического отклонения совпадает с размерностью самой случайной величины.

24. Дискретная случайная величина, графическое представление её законов распределения.

Случайная величина, принимающая отдельные возможные значения с определенными вероятностями, называется дискретной случайной величиной.

Рядом распределения дискретной случайной величины Х называется таблица, где перечислены возможные (различные) значения этой случайной величины х₁, х₂, ..., х_n с соответствующими им вероятностями р₁, р₂, ..., р_n:

хi	x1	x2	...	xn
pi	p1	p2		pn

Графическое представление этой таблицы называется многоугольником распределения.  По оси абсцисс откладываются возможные значения дискретной случайной величины, а по оси ординат соответствующие вероятности.

25. Биномиально распределенная случайная величина, её законы распределения, числовые характеристики и графическое представление.

Биноминальное распределение. Для такого распределения ха­рактерно следующее: пусть проводится п независимых испытаний, в которых вероятность появления некоторого события равна р, а веро­ятность его не появления q = 1 - р . При этом вероятность р не изме­няется от опыта к опыту. Тогда вероятность того, что в п испытаниях событие появится ровно т раз ( ), определяется выражением 

Это выражение является формулой Бернулли, определяющей закон биноминального распределения. Если случайная вели­чина Х подчинена этому закону, то её числовые характеристики опре­деляются выражениями:

Биноминальное распределение описывает распределение случай­ных дискретных величин и зависит от двух параметров - n и p. Ему подчинены случайные величины, опи­сывающие события, имеющие только два возможных исхода: на­пример, число бракованных изделий в выборках из партий продукции больших размеров и т. п.

Название объясняется тем, что правую часть равенства можно рассматривать как общий член разложения Бинома Ньютона:

, m=k 

Графическое представление.