34. Доверительная вероятность и доверительные интервалы.
Наряду с точечными широко применяют интервальные оценки числовых характеристик случайных величин, выражающиеся границами интервала, внутри которого с определенной вероятностью заключено истинное значение результата измерения. Вероятность того, что погрешность не выйдет за границы некоторого интервала, определяется по площади, ограниченной кривой распределения и границами этого интервала, отложенными по оси абсцисс (квантилями), что показано на рис. 1.10.
Рис.1.10.
Таким
образом, интервал 
,
за границы которого погрешность не
выйдет с некоторой вероятностью,
называется доверительным
интервалом,
а характеризующая его вероятность
- доверительной
вероятностью.
Границы этого интервала
называются доверительными
значениями погрешности. При
измерениях можно задаваться доверительным
интервалом и по нему определять
доверительную вероятность, либо,
наоборот, по доверительной вероятности
подсчитывать доверительный интервал.
Чем больше доверительная вероятность,
тем шире доверительный интервал; поэтому
на практике обычно выбирают доверительную
вероятность 0,95 и даже 0,90.
Доверительный
интервал обычно выражают через
относительную величину 
в
долях среднего квадратического отклонения
(“кратность”) 
.
Для нормального закона доверительную
вероятность 
определяют
по значениям интеграла вероятности
(функции Лапласа), который в математической
справочной литературе обозначается 
и
определяется
Зная
доверительные границы 
и 
можно
определить доверительную вероятность
Если
значения доверительных границ 
и 
симметричны,
т.е.
,
то 
и 
.
Тогда
Для наиболее часто встречающихся значений доверительной вероятности в табл. 1.3 указаны соответствующие значения кратности.
Таблица 1.3
-
P(t)
0,90
0,95
0,99
0,999
t
1,645
1,960
2,576
3,291
При
нормальном законе распределения
доверительный интервал 
имеет
доверительную вероятность 
=0,9973,
что означает, что из 370 случайных
погрешностей только одна по абсолютному
значению будет больше 
.
На основании этого основан один из
критериев грубых погрешностей, когда
остаточная погрешность какого-либо
результата измерения превышает
значение
,
то этот результат считается промахом
и исключается из ряда измерений.
Пример.
Для известного числа измерений 
получены
значения 
и 
.
Определить вероятность того, что имеет
место неравенство 1,26<
<1,28.
Так
как 
,
то 
0,01/0,025=0,4.
Используя таблицу интеграла вероятности,
находим 
.
Следовательно, около 30% общего числа
измерений будут иметь случайную
погрешность 
,
не превышающую ±0,01.
35. Понятие о корреляции. Уравнение регрессии.
Корреляция — взаимосвязь двух или нескольких случайных величин. При этом изменения одной или нескольких из этих величин приводят к систематическому изменению другой или других величин. Математической мерой корреляции двух случайных величин служит коэффициент корреляции.
На практике принято различать следующие варианты корреляции: парная – связь между двумя признаками, один из которых является факторным, а другой – результативным;
множественная – зависимость между результативным и многими факторными признаками, включенными в исследование;
частная – зависимость между результативным и одним из факторных признаков, при фиксированном значении других.
Задача корреляционного анализа – количественное определение тесноты связи между результативным и факторными признаками на основе коэффициентов корреляции. Коэффициенты (в многофакторной связи - индексы) корреляции дают возможность определить «полезность» факторных признаков при построении уравнений множественной регрессии.
Коэффициент корреляции – это показатель характера взаимного влияния изменения двух случайных величин. Обозначается буквой R и принимает значение от -1 до +1. Если значение по модулю находится ближе к 1 – это означает наличие сильной связи, а если ближе к 0 – связь слабая или вообще отсутствует. Коэффициент корреляция может быть положительным и отрицательным. Отрицательная корреляция – увеличение одной переменной связано с уменьшением другой переменной. Положительная корреляция – увеличение одной переменной связано с увеличением другой переменной.
Величина коэффициента корреляции |
Характер связи |
до | ±0,3| |
практически отсутствует |
от | ±0,3| до | ±0,5| |
слабая |
от | ±0,5| до | ±0,8| |
существенная (средняя) |
от | ±0,8| до | ±1,0| |
тесная |
Регрессия (лат. regressio - обратное движение, переход от более сложных форм развития к менее сложным) - одно из основных понятий в теории вероятности и математической статистике, выражающее зависимость среднего значения случайной величины от значений другой случайной величины или нескольких случайных величин. Это понятие введено Фрэнсисом Гальтоном в 1886.
y=f(x) - уравнение регрессии - это формула статистической связи между переменными.
Парная регрессия– представляет собой зависимость между двумя переменными x и y, т.е. y=f(x), где y – зависимая переменная, x – независимая переменная. Парная линейная регрессия – линейная связь между двумя переменными x и y (описывается в виде прямой), уравнение y = a + bx, где b – коэффициент регрессии, a – свободный член уравнения регрессии. Парная нелинейная регрессия – нелинейная связь между двумя переменными x и y (описывается в виде кривой, для описания используют логарифмические, экспоненциальные или степенные функции), уравнение y = a + b ln(x). Чем ближе точки к графику, тем теснее связь между переменными.