14. Вероятность случайного события (статистическое определение вероятности).

Статистической вероятностью события считают его относительную частоту или число, близкое к ней.

Статистическое определение. Вероятностью события   называется число, относительно которого стабилизируется (устанавливается) относительная частота   при неограниченном увеличении числа опытов.

В практических задачах за вероятность события   принимается относительная частота   при достаточно большом числе испытаний.

Из данных определений вероятности события   видно, что всегда выполняется неравенство

15. Вероятность случайного события (геометрическое определение вероятности).

Пусть некоторая n-мерная фигура (отрезок, плоская фигура, пространственная фигура) составляет часть другой n-мерной фигуры. Если предположить, что вероятность попадания точки на эту фигуру пропорциональна её мере (длине, площади, объёму) и не зависит от взаимного расположения меньшей и большей фигур, то вероятность попадания точки на эту фигуру определяется равенствами

где l(L), s(S), v(V) - длина, площадь и объём меньшей и большей n-мерных фигур соответственно.

Пример

На плоскости начерчены две окружности радиусами 2 и 7 см соответственно, одна внутри другой. Найти вероятность того, что точка, брошенная наудачу в большой круг, попадет также и в малый круг. Предполагается, что вероятность попадания точки в плоскую фигуру пропорциональна площади этой фигуры и не зависит от её расположения.

16. Вероятность случайного события (аксиоматическое определение вероятности).

 В этом случае вероятность задается как числовая функция Р(А) на множестве всех событий, определяемых данным экспериментом, которая удовлетворяет следующим аксиомам:

1. .(каждому событию А соответствует положительное число).

2. P(A)=1, если А - достоверное событие. (вероятность достоверного события равна 1)

3. , если А и В несовместны.

Свойство 1) также называют аксиомой положительности, 2) – аксиомой нормированности, 3) – аксиомой аддитивности.

Будем также использовать обобщение свойства А3:

Пусть А1 , А2, …, Аn – счетное множество попарно несовместных событий, т.е Аi ∙ Аj = Ø при i ≠ j.

Тогда 

17. Совместные и несовместные события, теоремы о суммах несовместных и совместных событий.

События называют несовместными, если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании. Несколько событий образуют полную группу, если в результате испытания появится хотя бы одно из них. Суммой   двух событий   и   называют событие, состоящее в появлении события  , или события  , или обоих этих событий. Суммой нескольких событий называют событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий. Теорема. Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий: . Другими словами, вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих. Следствие. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий: . Теорема. Сумма вероятностей попарно несовместных событий  , образующих полную группу, равна единице:  

Два события называются совместными, если появление одного из них не исключает появления другого в одном и том же испытании.

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий А и В равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления: 

P (A + B) = P (A) + P (B) - P (AB).