1. Роль математики в современном мире.

Целью изучения математики является – повышение общего кругозора, культуры мышления, формирование научного мировоззрения.  Математика – наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира.

Развитие современной математики можно отнести к периоду XIX и XX в. Развитие самой математики, «математизация» различных областей науки, проникновение математических методов во многие сферы практической деятельности, прогресс вычислительной техники привели к появлению новых математических дисциплин, например, исследование операций, теория игр, математическая экономика и другие.  В основе построения математической теории лежит аксиоматический метод. В основу научной теории кладутся некоторые исходные положения, называемые аксиомами, а все остальные положения теории получаются, как логические следствия аксиом.  Основными методами в математических исследованиях являются математические доказательства – строгие логические рассуждения.

В математике изучаются математические модели объектов. Одна и та же математическая модель может описывать свойства далеких друг от друга реальных явлений. Так, одно и тоже дифференциальное уравнение может описывать процессы роста населения и распад радиоактивного вещества. Для математика

важна не природа рассматриваемых объектов, а существующие между ними отношения.

Математика играет важную роль в естественнонаучных, инженерно-технических и гуманитарных исследованиях. Причина проникновения математики в различные отрасли знаний заключается в том, что она предлагает весьма четкие модели для изучения окружающей действительности в отличие от менее общих и более расплывчатых моделей, предлагаемых другими науками. Без современной математики с ее развитым логическими и вычислительным аппаратом был бы невозможен прогресс в различных областях человеческой деятельности. 

Математика является не только мощным средством решения прикладных задач и универсальным языком науки, но также и элементом общей культуры.

2. Математическая обработка информации об объектах окружающего мира. Виды математических моделей, построение их и исследование.

Математи́ческая моде́ль — это математическое представление реальности. Математическое моделирование — процесс построения и изучения математических моделей.

Все естественные и общественные науки, использующие математический аппарат, по сути, занимаются математическим моделированием: заменяют реальный объект его математической моделью и затем изучают последнюю.

Характер математических моделей, их сложность и специфика определяются, прежде всего, физической природой реальных систем и процессов, которые они описывают. Многие процессы в механике математически отображаются с помощью разнообразных функциональных зависимостей между переменными величинами. Поэтому, в качестве математических моделей для них служат различные виды уравнений и их систем, начиная от  простейших линейных уравнений и кончая дифференциальными, интегральными и интегро-дифференциальными уравнениями.

Из всего многообразия определений математической модели её сущность наиболее точно отражает следующее: «… Математическая модель есть специфический информационный объект в виде системы математических соотношений, которые представляют собой приближенное  формальное описание свойств, характеристик и связей объекта – оригинала  произвольной природы, являющихся существенными для задачи, решаемой человеком» [1].

Как следует из приведенного определения, математическая модель не имитирует реальный объект во всех подробностях, а принимает во внимание лишь самые важные его свойства, оказывающие решающее влияние на протекание именно исследуемого процесса. При этом качество модели нельзя оценивать ни по структуре, ни по форме. Единственным критерием такой оценки может служить лишь достоверность полученных на модели прогнозов поведения реальной системы.

Если результаты моделирования подтверждаются близким совпадением выходных характеристик, полученных расчетным путем и экспериментально на реальном объекте в тестовых ситуациях, то можно говорить, что модель адекватна объекту. При этом адекватность модели зависит от цели моделирования, степени  идеализации реального объекта и принятых критериев оценки.

По способу отображения действительности различают три основных вида моделей — эвристические, натурные и математические.

Эвристические модели, как правило, представляют собой образы, рисуемые в воображении человека.

Натурные модели. Отличительной чертой этих моделей является их подобие реальным системам .и т. п. По принадлежности к предметной области модели подразделяют на следующие: физические и технические- макеты и т.п. и социальные и экономические модели- бизнес- модель.

Математические модели-   представляют собой совокупность взаимосвязанных математических и формально-логических выражений, как правило, отображающих реальные процессы и явления (физические, психические, социальные и т. д.). По форме представления бывают:

• аналитические модели. Их решения ищутся в замкнутом виде, в виде функциональных зависимостей. Удобны при анализе сущности описываемого явления или процесса и использовании в других математических моделях, но отыскание их решений бывает весьма затруднено;

• численные модели. Их решения — дискретный ряд чисел (таблицы). Модели универсальны, удобны для решения сложных задач, но не наглядны и трудоемки при анализе и установлении взаимосвязей между параметрами. В настоящее время такие модели реализуют в виде программных комплексов — пакетов программ для расчета на компьютере. Программные комплексы бывают прикладные, привязанные к предметной области и конкретному объекту, явлению, процессу, и общие, реализующие универсальные математические соотношения (например, расчет системы алгебраических уравнений);

• формально-логические информационные модели — это модели, созданные на формальном языке.

Построение математических моделей возможно следующими способами

• аналитическим путем, то есть выводом из физических законов, математических аксиом или теорем;

• экспериментальным путем, то есть посредством обработки результатов эксперимента и подбора аппроксимирующих (приближенно совпадающих) зависимостей.

Исследование математических моделей- моделирование.

Процесс построения и использования модели называется моделированием.

Исходя из определения модели, можно конкретизировать понятие моделирования. Моделирование – это:

– построение моделей реально существующих объектов (предметов, явлений, процессов);

– замена реального объекта его подходящей копией;

– исследование объектов познания на их моделях.

Этапы математического моделирования

Этап 1. Постановка и качественный анализ задачи. На этом этапе формулируется сущность проблемы, принимаются предположения, гипотезы, объясняющие поведение объекта; с помощью методов системного анализа выделяются важнейшие свойства объекта, его структура, изучается взаимосвязь его

элементов, цели развития.

Этап 2. Построение математической модели. Исследуемая проблема формализуется, т.е. выражается в виде конкретных математических зависимостей (уравнений, неравенств и др.). Каждая математическая модель обычно включает в себя четыре группы элементов): совокупность известных внутренних (входных) параметров системы ; характеристики системы, подлежащие определению (выходные параметры) ; характеристики внешних изменяющихся условий (возмущающие воздействия); характеристики системы, позволяющие изменять систему (управляющие воздействия) .

Этап 3. Математический анализ модели. С помощью чисто математических

приемов исследования выявляются общие свойства модели и ее решения. В частности, доказывается существование решения сформулированной задачи, выясняется, единственно ли оно; определяется область допустимых значений аргументов; область изменения решения; проверяется истинность статистических

гипотез о связях между параметрами и переменными модели; сопоставляются

размерности величин и т.д.

Этап 4. Подготовка исходной информации о прошлом развитии; современном состоянии объектов, будущем развитии объектов, включающая данные об ожидаемых изменениях их внутренних параметров и внешних условий (прогнозы).

Этап 5. Численное решение. Этот этап включает выбор метода решения задачи, разработку алгоритма численного решения, проведение параметрических исследований, т.е. изучение поведения модели при различных значениях входных параметров.

Этап 6. Анализ и применение полученных результатов. На этом этапе проверяется адекватность модели, т.е. насколько согласуются полученные знания об объекте-оригинале с практикой. Имеется в виду не просто

адекватность, а соответствие по тем свойствам, которые считаются существенными для исследователя.