Векторный базис на плоскости и в пространстве

В случае неколлинеарности двух векторов а и b любой третий вектор с, компланарный с, а и b, как следует из рисунка 16, можно однозначно представить в виде

с = xa + yb, (1)

где x, y  R.

Линейной комбинацией векторов а₁, а₂, …, а_n называется вектор

а = х₁а₁ + х₂а₂ + … + х_nа_n, (2)

где х₁, х₂, …, х_n – действительные числа, называемые коэффициентами линейной комбинации.

Если вектор а представлен в виде линейной комбинации (2), то будем говорить, что а разложен по векторам а₁, а₂, …, а_n. В частности, на основании равенства (1) мы можем сказать, что вектор с разложен по векторам a и b.

Векторным базисом на плоскости называется любая упорядоченная пара (е₁; е₂) неколлинеарных векторов этой плоскости.

Можно заметить, что каждая плоскость содержит бесконечное мно- жество базисов.

По аналогии с выводом, сделанным из рисунка 16, можно утверждать, что любой вектор а некоторой плоскости можно однозначно представить в виде линейной комбинации базисных векторов е₁, е₂ этой плоскости, т. е.

а = хе₁ + уе₂. (3)

Из этого следует вывод: если на плоскости выбран базис (е₁; е₂), то каждому вектору а этой плоскости ставится в соответствие един- ственная упорядоченная пара действительных чисел х, y и, обратно, каждой упорядоченной паре чисел х, y поставлен в соответствие един- ственный вектор а, который определяется равенством (3). При этом числа х, y мы будем называть координатами вектора а в базисе (е₁; е₂).

Ортонормированным базисом называется такой базис (i; j), который удовлетворяет условиям: i  j, | i | = | j | = 1, т. е. векторы i, j этого базиса единичны и взаимно перпендикулярны. В этом случае, если а = (х; y) в базисе (i; j), то а = хi + yj и наоборот. Числа х, y называются координатами вектора а в базисе (i; j).

Два вектора а = (x₁; y₁), b = (x₂; y₂) образуют базис на плоскости тогда и только тогда, когда определитель второго порядка, составленный из координат этих векторов, отличен от нуля.

Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением a  b двух ненулевых векторов a и b называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. В случае равенства нулю хотя бы одного из этих векторов скалярное произведение равно нулю. Таким образом, по определению имеем

(4)

где  – угол между векторами a и b.

Скалярное произведение векторов a, b обозначается также при помощи символов ab.

Знак скалярного произведения определяется величиной :

если 0    то a  b  0,

если же    , то a  b  0.

Скалярное произведение определяется только для двух векторов.

Операции над векторами в координатной форме

Пусть в системе координат Оху даны векторы a = (x₁; y₁) = x₁i + y₁ j и b = (x₂; y₂) = x₂i + y₂ j.

Тогда:

1. Каждая координата суммы двух (или более) векторов равна сумме соответствующих координат векторов-слагаемых, т. е. a + b = = (x₁ + x₂; y₁ + y₂).

2. Каждая координата разности двух векторов равна разности соответствующих координат этих векторов, т. е. a – b = (x₁ – x₂; y₁ – y₂).

3. Каждая координата произведения вектора на число  равна произведению соответствующей координаты этого вектора на , т. е.  а = ( х₁;  у₁).

4. Скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов, т. е. a  b = x₁  x₂ + + y₁  y₂.

Следствие. Длина вектора а = (x; y) равна корню квадратному из суммы квадратов его координат, т. е.

= (5)