Асимптоты графика функции

Существуют различные точки зрения на понятие асимптоты.

Асимптотой графика функции y = f(x) называется прямая, к которой неограниченно приближается точка графика функции при неограниченном удалении от начала координат.

Асимптотой графика функции y = f(x) называется прямая обладающая тем свойством, что расстояние от точки M(x; f(x)) графика до этой прямой при удалении точки M(x; f(x)) в бесконечность стремится к нулю (рисунок 37).

Из определения следует, что асимптоты могут существовать только у графиков функций, имеющих сколь угодно далекие точки («неограниченные» кривые).

а) б)

в)

Рисунок 37

Асимптоты бывают трех видов: вертикальные, наклонные и горизонтальные.

На рисунке 37а изображена вертикальная асимптота, на рисунке 37б – горизонтальная асимптота, а на рисунке 37в – наклонная.

Этими тремя случаями исчерпываются все возможные расположения асимптот.

Нахождение асимптот графика функции y = f(x) основано на утверждениях, представленных ниже.

Теорема 7. Пусть функция y = f(x) определена в некоторой окрестности точки x₀ (исключая, возможно, саму эту точку) и хотя бы один из пределов функции при х  х₀ – 0 (слева) или при х  х₀ + 0 (справа) равен бесконечности, т. е. f(x) =  или f(x) = . Тогда прямая x = x₀ является вертикальной асимптотой графика функции y = f(x).

Вертикальные асимптоты x = x₀ следует искать в точках разрыва функции y = f(x) или на концах ее области определения (a; b), если a и b – конечные числа.

Теорема 8. Пусть функция y = f(x) определена при достаточно больших и существует конечный предел функции f(x) = b. Тогда прямая y = b есть горизонтальная асимптота графика функции y = f(x).

Замечание. Если пределы f(x) = b и f(x) = b₁ – конечные и различные, то прямые y = b и y = b₁ будут горизонтальными асимптотами (правосторонней и левосторонней).

Может оказаться, что только один из этих двух пределов конечен, тогда будет одна горизонтальная асимптота.

В том случае, если f(x) = , функция может иметь наклонную асимптоту.

Теорема 9. Пусть функция y = f(x) определена при достаточно больших x и существуют конечные пределы и (f(x) – kx) = b. Тогда прямая является наклонной асимптотой графика функции y = f(x).

Наклонная асимптота так же, как и горизонтальная, может быть правосторонней или левосторонней.

Общая схема исследования функции и построения графика

Исследование функции y = f(x) целесообразно вести в определенной последовательности:

1. Найти область определения функции.

2. Исследовать функцию на четность, нечетность и периодичность.

3. Найти точки пересечения графика с осями координат.

4. Найти интервалы возрастания и убывания, экстремумы функции.

5. Найти интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба.

6. Найти асимптоты.

7. Построить график функции.

Понятие функции нескольких переменных

Область определения

Переменная z называется функцией двух переменных x и y, если каждой паре (x; y) значений двух независимых друг от друга переменных величин x и y из некоторой области D соответствует определенное значение z: z = f(x; y).

Значение функции z = f(x; y) в точке M(x₀; y₀) обозначается z₀ = f(x₀; y₀) и называется частным значением функции.

Переменная величина и называется функцией трех переменных x, y, z, если каждому набору этих переменных соответствует единственное значение переменной u: u = f(x; y; z).

Будем пользоваться заданием функции, как правило, аналитическим способом: когда функция задается с помощью формулы.

Множество всех точек, в которых определена функция n переменных, называется областью определения функции.

Область определения находится из формулы функциональной зависимости путем соблюдения корректности выполнения соответ- ствующих математических операций.

В случае двух переменных область определения функции z = f(x; y) представляет собой некоторое множество точек на координатной плоскости Oxy, и тогда сама функция изображается в виде некоторой поверхности.