Четность, нечетность и периодичность функции

Функция f(x) называется четной, если:

1) множество D( f ) симметрично относительно нуля;

2) для любого x  D( f ) справедливо равенство f(–x) = f(x).

График четной функции симметричен относительно оси Оу.

Функция f(x) называется нечетной, если:

1) множество D( f ) симметрично относительно нуля;

2) для любого справедливо равенство f(–x) = –f(x).

График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Функция, не являющаяся ни четной, ни нечетной, называется функцией общего вида.

Функция f(x) называется периодической, если существует такое число Т  0, что для любого справедливы условия:

1)

2) f(x – T) = f(x + T) = f(x).

Число T называется периодом функции f(x). Если T – период функции f(x), то числа Т, 2Т, 3Т,  также являются периодами этой функции. Как правило, под периодом функции понимают наименьший из ее положительных периодов, если таковой существует.

Если функция f(x) периодическая с периодом T, то ее график переходит сам в себя при сдвиге вдоль оси Ох на T единиц влево или вправо.

Условия монотонности функции. Экстремумы функции

Функция y = f(x) называется возрастающей (убывающей) на отрезке [a; b], если для любых и на этом отрезке верно неравенство f(x₁) < f(x₂) (f(x₁) > f(x₂)), когда х₁  х₂.

Теорема 1. Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a; b] и дифференцируема во всех точках интервала (a; b). Если при этом f (x) > 0, то функция возрастает на отрезке [a; b]; если f (x) < 0, то функция убывает на отрезке [a; b].

Функция возрастающая или убывающая называется монотонной.

Точка x = x₀ называется точкой максимума (минимума) функции f(x), если существует двусторонняя окрестность этой точки, в которой функция определена и при этом для всех х из этой окрестности f(x) < f(x₀) (f(x) > f(x₀)), х  х₀.

Теорема 2 (необходимые условия экстремума). Если x₀ – точка экстремума функции, то либо производная в этой точке не суще- ствует, либо f (x₀) = 0.

Обратное утверждение неверно.

Точки, в которых производная равна 0, называются стационарными. Точки, в которых производная равна 0 или не существует, называются критическими.

Теорема 3 (достаточные условия экстремума). Пусть функция y = f(x) непрерывна в точке x₀ и дифференцируема в некоторой ее окрестности (кроме, быть может, самой точки x₀). Если при переходе через точку x₀ производная f (x) меняет знак с плюса на минус, то x₀ – точка максимума. Если же производная f (x) меняет знак с минуса на плюс, то – точка минимума.

Если x₁, x₂, …, x_n – критические точки непрерывной на отрезке [a; b] функции f(x), то наибольшее и наименьшее значения этой функции есть соответственно наибольшее и наименьшее из чисел f(a), f(x₁), f(x₂), …, f(x_n), f(b).

Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба

График дифференцируемой функции y = f(x) называется выпуклым (выпуклым вверх) на интервале (a; b), если он расположен ниже касательной, проведенной в любой точке этого интервала (рисунок 33).

График дифференцируемой функции y = f(x) называется вогнутым (выпуклым вниз) на интервале (a; b), если он расположен выше касательной, проведенной в любой точке этого интервала (рисунок 34).

Рисунок 34

Теорема 4 (достаточное условие выпуклости (вогнутости) графика функции). Если f (x) < 0 в интервале (a; b), то график функции является выпуклым в этом интервале. Если f (x) > 0 в интервале (a; b), то график функции является вогнутым в этом промежутке.

Точки, в которых вторая производная функции y = f(x) равна нулю или бесконечности либо вовсе не существует, называются критическими точками второго рода. Эти точки лежат внутри области определения данной функции.

Точка M(x₀; f(x₀)), отделяющая выпуклую часть непрерывной функции от вогнутой или наоборот, называется точкой перегиба (рисунок 35).

Точки перегиба функции находятся среди критических точек второго рода.

Заметим, что график функции пересекает касательную в точке перегиба и переходит с одной ее стороны на другую.

Теорема 5 (необходимое условие точки перегиба). Если х₀ – точка перегиба графика функции y = f(x), то либо вторая производная в этой точке не существует, либо

Теорема 6 (достаточное условие точки перегиба). Если при переходе через критическую точку x₀ вторая производная меняет знак, то точка M(x₀; f(x₀)) есть точка перегиба функции y = f(x). Если же знака не меняет, то точка M(x₀; f(x₀)) точкой перегиба не является.