20.Функциональные уравнения р. Белмана для оптимизации сроков замены производственного оборудования.

Математическая модель задачи оптимизации сроков замены оборудования строится в виде функциональных уравнений Р. Беллмана. Предполагается, что ежегодно появляется новая модификация (новое поколение) машины с лучшими технико-экономическими показателями по сравнению с эксплуатирующейся машиной и ранее разработанными моделями. В начале каждого года рассматриваемого планового периода принимается одно из двух альтернативных решений:

Продолжить эксплуатацию старой машины, несмотря на то, что возраст машины увеличится еще на один год и при этом вследствие физического и морального старения произойдет дальнейшее снижение ее производительности (годовой прибыли);

Затратив необходимую сумму средств, приобрести новую машину с тем, чтобы в текущем году и в последующие годы получать более высокую прибыль, что позволит через некоторое время компенсировать затраты на обновление машины и, возможно, накопить к концу рассматриваемого периода суммарную прибыль в большем объеме, чем при эксплуатации старой машины.

О птимальная политика замены машины формируется из условия максимизации суммарной прибыли за весь планируемый период N с учетом затрат на замену машины (инвестиций) и определяется с помощью функциональных уравнений P.Беллмана

f_n (t) = max

n = N-1, N-2, ... , 1; t = 1, 2, ... , где f_n(t) - максимальная прибыль при оптимальной политике замены за n-й и

• последующие годы планового периода при возрасте машины t лет к началу n-го года (следовательно, речь идет о машине (n - t)-го поколения); S_n(t) - годовая прибыль в n-м году для машины возраста t лет; C_n(t) - затраты в n-м году на замену машины возраста t лет; a - коэффициент дисконтирования, учитывающий уровень изменения цен.

Ф ункция f полагается равной нулю для значений n ³ N+1, следовательно,

f_N (t) = max

t = 1, 2, ... ,

Вычислив значения f_N(t), t=1,2,... и используя приведенные выше функциональные уравнения, можно найти последовательно значения f_N-1(t), f_N-2(t), ..., f₁(t), t=1, 2, ... при оптимальной политике замены оборудования. Значение f₁(t) соответствует суммарной прибыли от процесса эксплуатации машины, начавшегося в первый год планового периода при возрасте машины t лет, при соблюдении оптимальной стратегии замены машины. Информация, полученная в результате решения рассматриваемой задачи, позволяет разложить суммарную прибыль f₁(t) по годам планового периода и определить, сколько раз и в какие годы планового периода следует произвести замену машины, чтобы добиться наилучшего эффекта.

“Обратный” ход в решении задачи о замене оборудования

Значение в ячейке AG80, равное 10,24 расчетных д.ед., является результатом так называемого “прямого” хода в решении рассматриваемой задачи. Оно характеризует величину суммарной прибыли за весь плановый период при оптимальной политике замены машины. Чтобы найти оптимальные сроки замены машины, а также разложить суммарную прибыль по годам планового периода и определить необходимые затраты (инвестиции), связанные с заменой (или заменами) машины, необходимо выполнить “обратный” ход.

При выполнении обратного хода используется информация для каждого года планового периода и каждого возраста машины об оптимальном выборе одного из альтернативных решений: продолжить эксплуатацию действующей машины или произвести ее замену. Эта информация формируется в виде треугольной матрицы инвестиций. Если в текущем году планового периода при данном возрасте машины оптимальным решением является продолжение эксплуатации действу-ющей машины, то в соответствующую ячейку матрицы инвестиций заносится ноль, иначе – стоимость замены действующей машины.