Виды случайных величин.

1. Дискретные с.В.

Определение. С.в. называется дискретной, если множество ее значений конечно или счётно.

Для полной характеристики д.с.в. достаточно задать вероятности , тогда ее функция распределения запишется в виде:

.

Нетрудно видеть, что функция распределения д.с.в. кусочно-постоянная и возрастает скачками величины в точках x_k.

Примеры д.с.в.

1. Индикаторная с.в. (индикатор события А)

Функция распределения имеет два скачка в точке 0 и 1 с величинами (1-Р(А)) и Р(А).

2. Биномиальная с.в. (с параметрами n,p)

.

Смысл с.в. – число успехов в n испытаниях.

3. Геометрическая с.в. (с параметром p)

Смысл с.в. – число испытаний до 1-го успеха.

4. Пуассоновская с.в. с параметром .

2. Непрерывные с.В.

Определение. С.в. называется непрерывной, если ее функция распределения представима в виде:

.

Функция называется плотностью распределения вероятностей.

В точках непрерывности .

Свойства плотности распределения

1.

2.

3.

Примеры н.с.в.

1. Равномерная с.в. (параметры a,b)

2. Экспоненциальная (показательная) с.в. (параметр )

3. Распределение Коши

4. Нормальная (Гауссовская) с.в. (параметры a,):

3. Сингулярные с.В.

Существуют с.в., у которых не имеет скачков и, одновременно, не имеет плотности.

Определение.

Если , то точка x называется точкой роста функции .

Если , то точка x не является точкой роста функции .

Определение.

С.в. называется сингулярной, если выполнены 2 следующих условия:

1. Функция непрерывна.

В силу формулы это означает, что каждое отдельное значение имеет вероятность 0.

2. можно найти такую конечную или счетную последовательность интервалов с суммарной длиной меньше , что множество точек роста функции покрывается объединением .

Пример.

Пусть , где – символы десятичной записи числа . Предположим, что для некоторой последовательности символы фиксированы, а остальные символы _n, которых тоже бесконечное множество, независимы и каждый из них принимает значения 0, 1,…,9 с вероятностью 1/10.

Докажем, что  обладает сингулярным распределением.

Обозначим r(n) – число фиксированных членов среди первых n символов записи числа . Множество дробных чисел с фиксированными первыми n десятичными знаками заполняет отрезок длины 10^-n (например, все числа, начинающиеся с 0.33, расположены в отрезке [0.33, 0.34]).

Т.О.  может принадлежать одному из 10^n-r(n) интервалов длины 10^-n. Длина всех этих отрезков в сумме составляет 10^-r(n). Взяв такое n, что 10^-r(n)<, найдем, что множество точек роста покрывается конечным числом отрезков с суммарной длиной, меньшей , то есть выполняется второе условие сингулярности.

В тоже время, вероятность принадлежности  любому из 10^n-r(n) отрезков составляет

1/10^n-r(n).

Предположим, что имеет хотя бы один скачок величины >0. Тогда, для любого n точка скачка должна принадлежать отрезку длины 10^-n, на котором приращение функции составляет 1/10^n-r(n) . Т.О. для любого n должно выполняться условие 1/10^n-r(n)>. Поскольку при , то это условие противоречиво, ибо число нефиксированных десятичных символов бесконечно. Т.О., первое условие сингулярности также выполнено.