4. Основные понятия и определения теории антагонистических игр.

Конфликтная ситуация – социально-экономическая ситуация, в которой рассматривается вопрос о принятии решения в ситуации наличия не менее двух заинтересованных сторон с различными (иногда противоположными, тогда игра называетсяантагонистической) интересами, каждая из которых для достижения своей цели имеет возможность действовать различными способами, выбор которых при некоторых условиях может осуществляться в зависимости от действий противоборствующей стороны.

Игрой называется математическая модель конфликтной ситуации. Раздел теории исследования операций, занимающейся математическими моделями принятия опт.решений в условиях конфликта, называется теорией игр. Заинтересованные стороны в игре называются иг-ками.

Любое возможное в игре действие иг-ка называется его чистой стратегией.

Игра называется конечной, если мн-востр-ий каждого иг-ка конечно, в противном случае — бесконечной.

Степень удовлетворения интересов иг-ка А часто характеризуется его функцией выигрыша , определенной на мн-ве всех ситуаций и ставящий в соответствие каждой ситуации некоторое число , называемое выигрышем иг-ка А в ситуации x.

Аналогично, для иг-ка Вф-ия выигрыша определена на мн-ве ситуаций и каждый из них ставит в соответствие число , называемое выигрышем иг-ка В в ситуации y.

Опт.называется стр., которая при многократно повторяющейся игре гарантирует игроку максимально возможный средний выигрыш. Если в парной игре игроки преследуют противоположные цели, то игра называется антагонистической. Антагонистические игры называют играми двух сторон с нулевой суммой выигрыша.

5. Выигрыш-функция и матрица выигрышей. Чистые стратегии игроков. Соотношение между матрицами выигрышей игроков а и в в парной антагонистической игре с нулевой суммой выигрышей.

Чистаястр.иг-ка – любое возможное действие иг-ка.

Ф-ия выигрыша иг-ка в чистыхстр-ях – ф-ия, ставящая в соответствие каждой ситуации в чистых стр-ях действительное число, называемое выигрышем иг-ка в этой ситуации.

Рассмотрим парную игру с иг-ками А и В. Пусть игрок А имеет mстр-ий , а игрок В — nстр-ий . Натуральные числа m и n в общем случае никак не связаны между собой. Если каждый из иг-ов А и В сознательно определенным образом выбирает стр-ии и соответственно, то сложившаяся ситуация (в чистых стр-ях) однозначно определяет выигрыш иг-ка А, выражающийся действительным числом , которое одновременно является и проигрышем иг-ка В. А число выражает проигрыш иг-ка А и выигрыш иг-ка В. Если число отрицательно, то оно будет представлять отрицательный выигрыш иг-ка А, то есть его проигрыш. Числа — это значения ф-ии выигрыша иг-ка A: . Ходы иг-ов с сознательным выбором одной из возможных своих чистых стр-ий называют иногда личными ходами.

Выигрыши , i = 1, ..., m, j = 1, ...,n, можно расположить в виде мат-цы, номера строк которой соответствуют номерам стр-ийиг-ка А, а номера столбцов — номерам стр-ийиг-ка В. Мат-ца А называется матрицей выигрышей иг-ка A.

Обозначим через значения ф-ии выигрыша иг-ка В, т. е. . Если рассматриваемая игра — антагонистическая (т.е. с нулевой суммой выигрышей), то ф-ии выигрышей и иг-ов А и В связаны между собой рав-вом и, следовательно, Эти рав-ва означают, что мат-ца выигрышей В иг-ка В является противоположной транспонированной матрице A:

6. Максиминный и минимаксный принципы игроков. Показатели эффективности и неэффективности чистых стратегий игроков. Максимин и минимакс игры. Максиминные и минимаксные стратегии. Нижняя и верхняя цены игры в чистых стратегиях. Соотношение между выигрышами игрока А, показателями эффективности и неэффективности стратегий, нижней и верхней ценами игры.

Матричная игра игра с и.А и и.В,задаваемая матр выигр.А.

Показатель эффективности стр. -минимальный выигрыш при этой стратегии (мин.эл-т i-ой строки):

Максимином или нижней ценой игры в чистых стратегиях называется наибольший из показателей эффективности стратегии ,

Максиминной стратегией и.Аназывается стратегия , показатель эффективности которой совпадает с максимином . Мно-во всех чистых максмин стр - . Принцип выбора максмин.стр в кач-ве эффект –максиминный принцип(т.о. при любой игре В – гарант.выигрыш ≥α)

Показателем неэффективности стратегии - максимальный пройгрыш и.В при этой стр(макс.эл-т j-ого столб):

Минимакс, или верхняя цена игры в ч. страт – наименьш из пок-лей неэф стр . :

Минимаксная стр и.В – стр , пок-тель неэф которой совпадает с минимаксом . Мн-во всех ч.страт и.В - . Принцип выбора минмакс.стр в кач-ве эффект – минимаксный принцип(т.о. при любой игре А не может проиграть ≥ ).

Для нахожд ниж.и верх.цен игры в ч.страт. дополним матр столбцами стр , и стр :

Т 1. Для элементов расширенноймат-цы выигрышей имеют место нерав-ва

и, следовательно, нижняя цена игры не больше ее верхней цены в чистыхстр-ях: α ≤ β. (15)

Док-во. По опр. показателей эфф-ти α_iстр-ий А_iиг-ка А и опр. показателей неэфф-ти β_j стр-ий B_jиг-ка В имеем Т.к. доказанное нерав-во α_i ≤ β_j справедливо ∀ i = 1, ..., m, j =1, ..., n, то оно будет справедливым в частности для номеров i = i₀ и j = j₀ соответственно максиминной и минимаксной стр-ий.Тогда α ≤ β.Т доказана.