10. Работа сил электростатического поля. Потенциал

При перемещении пробного заряда q в электрическом поле электрические силы совершают работу. Работа сил электростатического поля при перемещении заряда из одной точки поля в другую не зависит от формы траектории, а определяется только положением начальной и конечной точек от величины заряда:

А = ²ʃ₁Fdl

Такое поле называется консервативным.

²ʃ₁Еdl – циркуляция: Еdl = Edlcosα, где dl - перемещение

Е

1

2

dl

dl

Е

Теорема о циркуляции вектора Е: циркуляция вектора Е в любом электростатическом поле равна нулю: ∮Еdl = 0.

Поле, обладающее таким свойством, называется потенциальным.

²ʃ₁Еdl = - φ₁ – φ₂ = - φ

Еdl = - dφ – элементарная убыль потенциала на dl

Если известно поле E(r), то для нахождения φ надо представить как убыль некоторой функции.

φ_т.з. = kq/r = q/4πrε₀.

kqdr/r² = - dφ => d(kq/r) = -dφ_т.з.

Если имеется система из n неподвижных точечных зарядов q₁, q₂,…..

Согласно принципу суперпозиции в любой точке поля напряженность Е = Е₁+Е₂+…, где Е_i – напряженность поля создаваемого отдельно зарядом q₁ и т.д. Тогда:

Edl = (E₁+E₂+…)dl = E₁dl + E₂dl + = -dφ₁ – dφ₁ - … = - dφ =>

φ = 1/4πε₀ Σq_i/r_i

φ = В

Если заряды, образующие системы, распределены непрерывно, то каждый элементарный объем dV содержит точечный заряд ρdV, где ρ – объемная плотность заряда в месте нахождения объема dV. Тогда при вычислении потенциала можно перейти от суммирования дискретно распределенных в пространстве зарядов к интегрированию по заряженному объему: φ = 1/4πε₀ʃρdV/r

Если заряды расположены только по поверхности S: φ = 1/4πε₀ʃσdS/r

Зная потенциал φ(r), можно предельно просто вычислить работу сил поля при перемещении точечного заряда из точки 1 в точку 2: A₁₂ = q(φ₁ – φ₂)

11. Эквипотенциальные поверхности. Связь между напряженностью электрического поля и потенциалом

Электрическое поле можно описывать как с помощью напряженности, так и с помощью потенциала. Следовательно, раз эти величины описывают одно и то же физическое явление, то между ними должна существовать однозначная связь.

Связь между φ и Е можно установить с помощью соотношения Еdl = - dφ.

Пусть перемещение dl параллельно оси Х, тогда dl =e_xdx, где e_x – орт оси Х; dx – приращение координаты х: Еdl = Ee_xdx = E_xdx => E_x = - dφ/dx

Аналогично определяем E_y, E_z => Находим E:

E = - (dφ*e_x/dx+ dφ*e_y/dy + dφ*e_z/dz)

Величина, стоящая в скобках есть градиент потенциала (grad φ или φ):

Е = -φ

Распределение потенциала в пространстве наглядно изображают с помощью эквипотенциальных поверхностей – поверхностей во всех точках, которых потенциал имеет одно и то же значение.

Вектор Е направлен в каждой точке по нормали к эквипотенциальной поверхности в сторону уменьшения потенциала. Эквипотенциальные поверхности проводятся так, чтобы разность потенциалов для двух соседних поверхностей была бы одинаковой. Тогда по густоте эквипотенциальных поверхностей можно наглядно судить о значении напряженности поля в разных точках поля. Там где эти поверхности расположены гуще, там напряженность поля больше. Так как вектор Е всюду нормален к эквипотенциальным поверхностям, то линии вектора Е ортогональны этим поверхностям.

φ₃

φ₂

φ₁