6. Электрическое поле равномерно заряженной плоской поверхности

Пусть поверхностная плотность заряда равна σ. Из симметрии задачи, очевидно, что вектор Е может быть только перпендикулярным заряженной плоскости. Кроме того, ясно, что в симметричных относительно этой плоскости точках вектор Е одинаков по модулю и противоположен по направлению. Такая конфигурация поля подсказывает, что в качестве замкнутой поверхности следует выбрать прямой цилиндр с основаниями параллельными плоскости.

Поток через боковую поверхность этого цилиндра равен нулю, и поэтому полный поток через всю поверхность цилиндра равна 2EdS, где S – площадь каждого торца цилиндра. Внутри цилиндра заключен заряд σS. Согласно теореме Гаусса 2EdS = σS откуда получаем: Е = σ/2ε₀.

7. Электрическое поле равномерно заряженной цилиндрической поверхности

Поле бесконечного круглого цилиндра, заряженного равномерно по поверхности так, что на единицу его длины приходится заряд λ. Из соображений симметрии следует, что вектор Е в каждой точке перпендикулярен оси цилиндра, а модуль вектора Е зависит только от расстояния r до оси цилиндра. Это подсказывает, что замкнутую поверхность надо взять в форме коаксиального прямого цилиндра.

Тогда поток вектора Е сквозь торцы этого цилиндра равен нулю, а через боковую поверхность ES, где S – площадь боковой поверхности цилиндра S = 2πrh. r – радиус боковой поверхности цилиндра, h – его высота. По теореме Гаусса для случая r>R (R – радиус бесконечного круглого цилиндра) имеем E2πrh = λh/ε₀, откуда:

E = λ/2πrε₀

8. Электрическое поле равномерно заряженной сферической поверхности

Это поле центрально-симметрично – направление вектора Е в любой точке проходит через центр сферы, а модуль зависит только от расстояния до центра сферы. При такой конфигурации поля в качестве замкнутой поверхности надо взять концентрическую сферу. Пусть ее радиус r>R, тогда по теореме Гаусса E4πr² = q/ε₀, откуда:

E = q/4π ε₀r²

Если r<R, то замкнутая поверхность не содержит внутри зарядов, поэтому в этой области всюду Е=0, т.е. внутри равномерно заряженной сферической поверхности электрическое поле отсутствует. Вне этой поверхности поле убывает с расстоянием по такому же закону, как у точечного заряда.

9. Электрическое поле равномерно заряженного шара

Поле такой сферы тоже обладает центральной симметрией. Для поля вне сферы получается тот же результат, что и в случае поверхностно заряженной сферы. Однако для точек внутри результат будет другой. Сферическая поверхность радиуса r (r<R) заключает в себе заряд равный q = ρ4πr³/3.

Следовательно, теорема Гаусса для такой поверхности: E4πr² = ρ4πr³/3ε₀.

Откуда, заменяя ρ через q/4/3* πR³ получаем Е=qr/ 4πε₀R³.

Внутри сферы напряженность поля растет линейно с расстоянием r от центра сферы.

Вне сферы напряженность убывает по такому же закону, как и у точечного заряда.