3. Принцип суперпозиции электрических полей

Принцип суперпозиции электрического поля: Напряженность электрического поля, создаваемого системой зарядов в данной точке пространства, равна векторной сумме напряженностей электрических полей, создаваемых в той же точке зарядами в отдельности:

Е = Е₁ + Е₂ + … + Е_n

E = ΣE_n

Для математических расчетов удобно заменить истинное дискретное распределение зарядов фиктивным непрерывным распределением. При переходе к непрерывному распределению, вводят понятие о плотности зарядов:

Объемная плотность зарядов:

ρ = dq/dV - ρ = Кл/м³

Поверхностная плотность заряда:

σ = dq/dS - σ = Кл/м²

Линейная плотность заряда:

λ = dq/dl - λ = Кл/м

E = 1/4πε₀ ʃ ρdVr/r³

Зная вектор Е в каждой точке, можно представить электрическое поле наглядно с помощью линий напряженности, или другими словами линий вектора Е. Эти линии проводят так, чтобы касательная к ним в каждой точке совпадала с направлением вектора Е, а густота линий, была бы пропорциональна модулю вектора Е. Кроме того этим линиям приписывают направление, совпадающее с направлением вектора Е.

Линии точечного заряда, очевидно, представляют собой совокупность радиальных прямых, направленных от заряда, если он положителен, и к заряду, если он отрицателен. Линии одним концом опираются на заряд, другим уходят в бесконечность. Линии нигде кроме заряда, не начинаются не начинаются и не заканчиваются; они, начавшись на заряде (если заряд положителен), уходят в бесконечность, либо, приходя из бесконечности, заканчиваются на заряде (если заряд отрицателен).

4. Поток вектора напряженности поля

Поток и циркуляция являются двумя важнейшими характеристиками всех векторных полей.

Из принципа построения линий напряженности следует, что густота линий Е равна модулю вектора Е. Тогда число линий, пронизывающих элементарную площадку dS, нормаль n которой составляет угол α с вектором Е, определяется как EdScosα. Эта величина и есть поток dФ вектора Е сквозь площадку dS: dФ =ЕdS= EdScosα =Е_ndS.

Выбор направления вектора n условен, его можно было бы направить и в противоположную сторону. Если имеется некоторая произвольная поверхность S, то поток вектора Е сквозь нее: Ф = ʃЕdS

^S

Эта величина алгебраическая: она зависит не только от конфигурации поля Е, но и от выбора направления нормали. В случае замкнутой поверхности, нормаль принято брать направленной наружу области, области охватываемой этой поверхностью.

5. Теорема Остроградского-Гаусса

Теорема: Поток вектора напряженности электростатического поля через замкнутую поверхность пропорционален электрическому заряду, расположенному внутри этой поверхности:

Ф = ∮ЕdS = Σqi/ε₀

ε₀ = 8,854*10^-12 Ф/м – электрическая постоянная

Доказательство: ???

1. Допустим, что в начале координат помещен точечный электрический заряд q. Напряженность электрического поля, созданного этим зарядом, описывается соотношением:

q r

E = 4πε₀ r³

Окружим заряд q сферой радиуса r, центр которой совпадает с началом координат. Известно, что внешняя нормаль n к элементу поверхности dS сферы направлена по радиусу: n = r/r

Поток вектора Е через поверхность сферы равен:

Использование теоремы Гаусса в интегральной форме в отдельных случаях, отличающихся высокой степенью симметрии расположения электрических зарядов в пространстве, позволяет эффективно рассчитывать характеристики электростатического поля.