9.Выходящий поток из непрерывно загруженной со

1. Частный случай n=1. Пусть имеется очередь вызовов достаточной длины. Как только линия освобождается, в очереди есть вызов, который занимает сразу эту освобожденную линию, т.о. СО загружена непрерывно.

Доказательство:

-Рассмотренный поток освобождений линии является марковским, так как количество освобождений в промежутке не зависит от количества освобождений до этого промежутка.

- , длины разговоров независимы друг от друга, все распределены по показательному закону и тоже независимы (т.к. длины независимы), следовательно, получаем простейший поток с параметром β. Ч.т.д.

-вероятность k освобождений за промежуток длины t.

Пример: Пусть – время исправной работы прибора. распределено по показательному закону с параметром β. После поломки прибор заменяется на новый (такой же). -вероятность, что за время t произойдет ровно k поломок. - ?

Физически линии нет, условная линия – место, занимаемое прибором. Линия занята-прибор исправен.

n=1, = длина разговора = время исправ. работы.

2. Общий случай. n линий

Любой из потоков—простейший, имеет показательное распределение с параметром β , следовательно, выходящий поток – простейший поток, распределен показательно с параметром nβ.

10.Линейные части вероятностей для трех потоков событий в системах с отказом

Потоки:

1. входящих вызовов (описывается функциями V_k(t))

2. освобожденных линий (обслуживание вызовов) - (W_k(t))

3. _{1)+2) совместное (вер:}

_{Посчитаем некоторые вероятности и выделим их лин. части}

Пример:

1.

Замечание: - это ординарный поток

Определение:

Поток вызовов простейший, если

- это поток без памяти (без последействий, марковский);

- стационарный;

- ординарный

Данное определение простейшего потока соответствует двум другим.

Аналитические свойства вытекают из аналитических позиций данного определения.

2. - поток освобожденных линий (W_k(t))

Если линия занята, то вероятность, что она:

- освободится (успех)_:

- не освободится

Если занято k линий ( ), то P того,что:

1. ни одна не освободится (0 успехов в к испытаниях)

2. хотя бы одна линия освободится

3. ровно 1 линия освободится

4. поток освобождения ординарный

3.

(см. рисунок справа)

Входящие и выходящие потоки независимы.

1.

2. ₊

3.

4. - ординарный.

11. Процессе гибели и размножения (пгр) и стационарное решение для систем с отказом

Утверждение: В случае системы с отказом состояние СО на момент времени t ( ) есть марковский ПГР с параметрами ; .

Доказательство:

1. То, что – марковский, вытекает из теоремы («поток освобождений линии является марковским, так как количество освобождений в промежутке не зависит от количества освобождений до этого промежутка»).

2. – ПГР.

1. за , , где

Первый поток	Второй поток
1	0
2	1
3	2
…	…

элементарных событий

2. за . , где

Первый поток	Второй поток
0	1
1	2
2	3
…	…

элементарных событий

3. 

, что и требовалось доказать – ПГР.

Стационарные решения:! Рк-1

, подставляем сюда значения параметров и многократно используем реккурентные соотношения

Нормировочное условие

Формулы Эрланга

Замечание: Формулы Эрланга получены в предположении о показательном распределении длин разговоров. Профессор Севастьянов показал, что они справедливы при любом законе распределения длин разговоров.//след. строка